基于改進各向異性擴散沖擊濾波器模型的圖像去噪

黃淑英，楊勇

(1. 江西財經大學 軟件與通信工程學院，江西 南昌，330032；2. 江西財經大學 信息管理學院，江西 南昌，330032；3. 江西省數字媒體重點實驗室，江西 南昌，330032)

在圖像處理和計算機視覺中大量的工程和實際應用依賴于圖像質量，但在圖像的形成、傳輸和存儲過程中，由于成像系統的缺陷、設備固有的噪聲和外部干擾等，均會引起質量退化，因此，消除和減少這種退化的影響對圖像的后續處理具有重要意義。一幅圖像的很多重要信息通常存在于它的邊緣、細節和紋理等特征中，而在圖像去噪過程中經常會模糊掉圖像的這些特征，因此，在去除噪聲的同時保持和增強圖像中的特征部分顯得尤為重要。近年來，偏微分方程(簡稱PDE)已經成為計算機視覺和圖像分析領域的重要方法，涌現出許多有效的圖像去噪和增強方法，如全變分模型[1-3]、高階偏微分方程及各向異性擴散模型[4-8]等。由Perona 等[9]提出的經典的各向異性擴散(簡稱AD)模型在圖像去噪與增強領域有著非常重要的應用，能很好地平滑圖像并保留圖像特征。該方法在迭代過程中不斷地根據最近一步所獲得的圖像梯度作為邊緣檢測算子，因而能減少噪聲對邊緣檢測的影響。但是，這種方法仍然沒有解決圖像邊緣上的噪聲問題。許多研究者在Perona 等[9]提出的框架下提出了不同的改進算法[7-8]，它們被統稱為PM 擴散模型。Osher等[10]將非線性雙曲型方程運用于圖像增強中，提出了用沖擊濾波器進行圖像增強的算法。但該算法對噪聲特別敏感，在無噪聲情況下震動濾波可很好地增強邊緣，但在有噪聲情況下震動濾波不僅不能增強邊緣，反而會擴大噪聲。在此基礎上，Alvarez 等[11]將各向異性擴散和沖擊濾波器相結合，提出了適于增強帶噪聲圖像的各向異性沖擊濾波模型。該模型在銳化圖像邊緣的同時能夠平滑噪聲，可用于文字的增強和特征提取，但該模型仍然對噪聲很敏感。傳統的沖擊濾波器主要是通過圖像梯度場反映圖像紋理結構來增強圖像的邊緣。而近年來提出的用于圖像分割的梯度矢量流(gradient vector flow, GVF)場[12-13]同樣具有反映圖像紋理結構的性能。Yu 等[14]已經證明GVF 場對于圖像擴散處理過程是不變的，并且對被嚴重高斯噪聲腐蝕的圖像也能夠更加精確的捕獲圖像的邊緣信息。Ghita等[15]和Ren 等[16]分別將GVF 和各向異性擴散模型結合應用于圖像增強中，取得了較好的結果，但并沒有很好地保留圖像的紋理細節。本文作者基于上述各向異性沖擊濾波模型的性能分析，并結合GVF 場的優良特性，將GVF 模型引入到各向異性擴散沖擊濾波器中，并采用圖像的曲率差來區分圖像的不同特征區域，對各特征區域進行不同的處理，提出一種全新的去噪增強方法，使得去噪后的圖像能夠更好地保持和突出圖像的紋理細節。

1 相關知識

1.1 各向異性擴散沖擊濾波器

Osher 等[10]最早提出的傳統沖擊濾波器僅對圖像有增強的作用，但并不能去除噪聲。其定義如下：

為了提高圖像增強方法對噪聲的魯棒性，Alvarez等[11]將各向異性擴散和沖擊濾波器聯合起來進行噪聲消除和邊緣銳化，形成如下形式的各向異性擴散濾波器(簡稱ADSF)方程：

式中： Gσ為1 個標準差為σ 的高斯函數，c 為正的常數。式(2)右邊的第1 項產生了1 個逼近于分片常數區域的解，這些分片常數區域被一種沖擊力分離開來，這種沖擊力是由沿梯度方向η 的二階方向導數為0 的交叉點所形成。ξ 表示圖像梯度 ?I 方向的垂直方向，方程右邊的第2 項是沿著ξ 方向的各向異性擴散。

圖1 所示為ADSF 分別對無噪聲圖像和噪聲圖像進行增強的結果。從圖1 可以看出：雖然ADSF 能夠增強圖像，較好地保留圖像的紋理，但由于該方法對噪聲比較敏感，容易出現“塊狀”效應。

圖1 ADSF 對無噪聲圖像和噪聲圖像增強結果Fig.1 Enhancement results of ADSF algorithm on noise free image and noise image

1.2 梯度矢量流(簡稱GVF)

GVF 最初由Xu 等[17]，用于解決傳統動態輪廓Snake 模型中存在的輪廓初始化和收斂困難的問題。GVF 定義為由邊緣圖像進行矢量擴散而構建的外力場，通過計算擴散過程將梯度矢量擴散到離邊緣遙遠和圖像強度均勻的圖像區域內，從而將一個突變問題轉化為一個漸變問題，在越靠近實際圖像邊緣的位置梯度矢量的強度越大，令

GVF 可以通過極小化如下能量泛函得到：

式中：μ 為調解平滑程度的非負常量，它根據圖像中噪聲情況加以選擇，若噪聲大，則增加μ ，反之，減少μ ；ux和uy為u(x,y)對x 和y 的一階偏導數；vx和vy為v(x,y)對x 和y 的一階偏導數；?為梯度算子；Ω為圖像域；F 為為由圖像梯度確定的邊緣圖像，其定義形式為

式中：Vt為迭代t 次的GVF 的偏導數；Δ 為拉普拉斯算子。式(6)的離散形式如下：

通過上述分析可知，GVF 作為圖像邊緣引起的外力場，能夠反映圖像中的紋理結構，其特點有：1) 圖像平坦區域矢量幅度接近零；2) 邊緣附近矢量幅度較大且矢量方向指向附近邊緣；3) 既不是完全的無旋場也不是完全的無散場。這種紋理表示對擴散中圖像紋理結構的保持具有重要意義。

一幅噪聲圖像的GVF 場和梯度場(Gradient Field，GF)如圖2 所示。從圖像GF 場和GVF 場對圖像紋理結構的表示可以看出：在GVF 圖中能保持很好的邊緣信息，在圖像的平坦區域，其矢量幅度較之梯度幅度小，因此對噪聲具有更強的魯棒性。眾所周知，理想的去噪算法應該是在抑制噪聲的同時，能夠有效地保留邊緣或增強紋理。為此，本文作者針對ADSF 能夠增強紋理但對噪聲敏感這一缺陷，提出將GVF 引入到ADSF 模型中，來克服ADSF 對噪聲敏感問題，進而提出了如下改進的ADSF 模型。

圖2 GVF 和GF 對噪聲圖像的表征Fig.2 Noise image symbols of GFV and GF

2 去噪模型的提出

2.1 基于曲率差的加權系數

在圖像去噪和增強方法中，往往是對圖像的各部分采用相同的處理，雖然去除了部分高頻噪聲，增強了圖像，但對視覺至關重要的邊緣細節信息往往因分布在高頻而被濾去，造成了圖像模糊，在增強圖像邊緣的同時也會放大噪聲。因此，本文考慮在對圖像進行去噪和增強時，提出通過定義一個加權系數對圖像的不同特征區域采用不同的處理。在這里使用圖像的曲率差d 來區分圖像的不同區域—邊緣區域和平坦區域。為此，加權系數w 可由下式定義得到：

曲率差d 能把邊緣區域和平坦區域分離開的原因有以下幾點：

2.2 改進的沖擊濾波器模型

從圖1(d)可以看到：ADSF 在去噪同時產生了過平滑現象，損失了很多紋理信息，同時也放大了圖像的噪聲，這種現象是由式(2)中的第1 項對圖像的增強作用而產生的，該項是使用圖像梯度來定義的。GVF場同GF 場一樣反映圖像的紋理結構，并對噪聲具有魯棒性。因此，在這里選用GVF 外力場來代替式(2)中的圖像GF 場，增加了ADSF 對噪聲的魯棒性。

式(2)中的第2 項是沿著ξ 方向的各向異性擴散，即沿著梯度方向的垂直方向擴散來壓抑噪聲。在這里通過區分圖像的邊緣區域和平坦區域對濾波器的2 項進行加權，則可以達到平滑圖像和保存紋理的雙重功效。在邊緣區域強調濾波器的第1 項，能夠增強圖像的邊緣，保存紋理減弱圖像的平滑作用；在平坦區域強調濾波器的第2 項，能夠濾除平坦區域的噪聲，減弱增強效果。則改進后的濾波器GVF-ADSF 可以定義為

這里給出式(12)的離散形式：

式中： Δt 為迭代步長，t 為迭代數，I0為模糊噪聲圖像，作為迭代的初始值。

綜上所述, 本文算法的去噪步驟可以簡要概括為：

2) 根據式(9)，(10)和(11)計算圖像 It的曲率差，通過式(8)計算式(13)中的加權系數。

3 實驗結果

為了驗證本文改進的濾波器GVF-ADSF 方法的有效性，將GVF-ADSF 算法與均值濾波、PM 模型[9]及ADSF 方法[11]的結果進行了主觀和客觀比較。實驗中采用加性噪聲模型I0(x,y)=I(x,y)+n(x,y )，其中I0(x,y)為觀測到的含有噪聲的圖像，I( x,y)為原始的清晰圖像，n( x,y)是均值為0、標準差為σ 的高斯白噪聲。采用PSNR 則對去噪結果進行定量比較，峰值信噪比RPSN準則定義為

圖3 “Lena”圖像的去噪結果比較Fig.3 Comparison of denoising results of “Lena”

圖4 “Barbara”圖像的去噪結果比較Fig.4 Comparison of denoising results of “Barbara”

式中：M× N為原始圖像I （ x, y）的大小。圖3 和圖4所示分別為Lena 和Barbara 2 組圖像的模擬實驗去噪結果。從2 組去噪實驗結果圖(3(b)～3(e)和圖4(b)～4(e))可以看出：傳統的均值濾波方法出現了模糊現象；PM模型具有較強的保邊緣的能力，但邊緣處的仍保留著嚴重的噪聲；ADSF 增強了圖像的部分邊緣信息，但由于ADSF 方法只是在1 個方向上實施擴散，它并不能夠很好地去除圖像的噪聲，并且產生了圖像模糊現象；改進的GVF-ADSF 方法能很好地去除圖像的噪聲，且保持了圖像的大部分特征，不同圖像區域之間過渡自然產生了令人滿意的銳利的邊緣，取得了較好的視覺效果。從2 組實驗的殘差圖像(圖3(f)～3(j)和圖4(f)～4(j))來看，GVF-ADSF 方法的殘差圖像信息最少，這也再次證明本文所提方法在去除噪聲的同時能有效保留圖像的紋理和邊緣信息。除上述2 組實驗外，還對另外2 組標準測試圖像Cameraman 和House 圖像進行了同樣的實驗，由于實驗結果類似，這里不再一一給出。

為進一步定量地評估本文算法的去噪性能，給出了4 組測試圖像在不同的噪聲水平下濾波后的峰值信噪比對比結果，如表1 所示。對比和分析表1 中的數據結果可知，在不同的噪聲水平下GVF-ADSF 方法相比其他方法都能得到較高的信噪比。

表1 去噪結果圖像的信噪比比較Table 1 PSNR values of denoising results in different methods

4 結論

1) 針對各向異性擴散沖擊濾波器對噪聲敏感的現象，將梯度矢量流引入到該模型中對其進行改進，提出了一種新的圖像去噪方法。該方法將梯度矢量流代替傳統的圖像梯度，并通過定義一個基于曲率差的加權系數來控制濾波器中2 個擴散項在圖像的邊緣區域和平坦區域的擴散程度，使得去噪后的圖像區域之間能夠自然的平滑過渡。

2) 傳統的ADSF 方法在增強圖像的同時并不能濾除噪聲，而本文GVF-ADSF 方法不但能很好地去除圖像噪聲，而且能夠有效地增強圖像輪廓，并保持圖像的紋理特征，使不同圖像區域之間產生了平滑過渡；與其他傳統去噪方法相比，采用本文方法也得到了更加令人滿意的視覺結果和更高的信噪比。

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