一類高階非線性系統的魯棒反推終端滑模控制

蘇磊，姚宏，杜軍，冀捐灶

(1. 空軍工程大學航空航天工程學院，陜西 西安，710038；2. 空軍工程大學理學院，陜西 西安，710051)

滑模控制(SMC)是現代控制理論中的重要方法，具有對系統匹配不確定性的完全魯棒性，但是難以處理系統非匹配不確定性[1-3]。反推控制(BC)能夠有效處理系統中的非匹配不確定性[4-5]。將BC 和SMC 相結合，設計反推滑模控制器，可以實現對同時含有匹配和非匹配不確定性系統的魯棒控制[6-8]。在反推滑模控制方法中，存在有3 個主要問題：

1) 在逐步遞推中，需要對虛擬控制函數反復求導，從而產生“微分爆炸”現象[9-10]。基于文獻[10]提出的動態面控制 (DSC)方法，文獻[11]在設計反推滑模控制器時，通過引入一系列低通濾波器(LPF)，實現對虛擬控制律的濾波估計，較好的解決了這一問題。

2) 傳統SMC 中，采用由符號函數構成的切換函數，控制信號在不同控制器之間頻繁切換，造成控制輸入的不連續性，即產生抖振現象[6,12]。采用飽和函數或者雙曲正切函數，可有效降低控制抖振。如文獻[13]在終端滑模(TSM)控制器中采用飽和函數，但是系統只能收斂到滑模面的一個邊界層處，控制性能降低；文獻[7]在SMC 中采用雙曲正切函數，但是未同時考慮控制對象中參數攝動和外界擾動的影響。

3) 傳統SMC 中，抖振意味著系統對不確定性的魯棒性，兩者密切相關，以降低系統魯棒性為代價消除系統抖振是毫無意義的。

恢復和增強無抖振滑模魯棒性的一種重要方法是采用不確定性估計策略[14-15]。非線性干擾觀測器(NDO)[16-17]根據已知系統信息，通過對系統不確定性和外界干擾的實時觀測進行反饋補償，具有目標明確、物理含義清晰且系統結構和被控系統相互獨立等特點。文獻[18-19]分別在反推滑模和動態TSM 中采用NDO 對系統不確定性和外界干擾進行觀測補償，并用于飛行器控制，取得了較好的控制效果。針對一類同時具有建模誤差和非匹配外界干擾的高階非線性系統輸出跟蹤問題，本文作者設計了一種基于NDO 的魯棒自適應反推TSM 控制方案。在控制方案中，針對由外界未知干擾引起的系統非匹配不確定性，設計NDO 進行觀測補償；借鑒DSC 方法簡化反推過程控制器設計；引入邊界層厚度設計系統建模誤差自適應律，并采用雙曲正切函數替換傳統SMC 中的符號函數，提高控制信號平滑性；給出NDO 和受控系統的穩定性定理及證明，指出觀測誤差和跟蹤誤差一致終結有界，并通過仿真對比進行驗證。本文提出的控制方案，在實現對指定軌跡精確跟蹤的同時，能夠有效消除控制信號抖振，且具有較好的魯棒性。

1 問題描述

本文的研究對象為一類同時具有非匹配不確定性和建模誤差的n 階非線性不確定系統：

其中：x=[ x1, x2,… , xn]T∈Rn為系統狀態；u ∈R1和y ∈R1分別為系統輸入和輸出；f = f( x )為已知光滑非線性狀態函數；g = g( x )為控制增益函數，并有g-1存在，且f 和g 滿足Lipschitz 條件；F =F( x)=Δf( x)+Δg ( x )u為系統建模誤差函數，其中 Δf ( x )為狀態建模誤差函數， Δg ( x )為控制增益不確定函數；di=di( t, x )，i=1, 2, …, n 為由外界干擾引起的系統非匹配不確定性。令系統軌跡指令為 xd，對式(1)及 xd進行以下假設。

假設1：di, i=1, 2, …, n 上界未知，但滿足Lipschitz連續有界和一階導數有界，即

其中： di0∈R+已知。

假設2：F 連續可導，且有F˙ ≈0。

假設3： xd有界且滿足一階可導。

本文控制器設計的任務是針對如式(1)所示的一類高階非匹配不確定非線性系統，在假設1～3 下，考慮F 和di, i=1, 2, …, n 影響，設計軌跡跟蹤控制器，使得系統輸出y 穩定跟蹤指定的參考軌跡 xd，并在消除控制抖振的同時，增強系統的魯棒性。

2 基于NDO的反推TSM控制器設計

本文設計的基于NDO 的反推TSM 控制方案如圖1 所示。

控制器設計中，首先針對di, i=1, 2, …, n 設計NDO 進行觀測補償，確保系統對不確定性的魯棒性；其次將BC 和TSM 相結合，并基于DSC 方法，在BC中引入LPF 解決“微分爆炸”問題；在BC 最后一步設計建模誤差自適應律和終端滑模控制律，最終實現系統輸出對指定軌跡的穩定跟蹤。

圖1 基于NDO 的反推TSM 控制方案Fig.1 NDO based backstepping TSM control method

2.1 NDO 設計及收斂性分析

第Ⅰ類NDO：當i=1, …, n-1 時，針對di設計NDO 進行觀測補償。

定理1：如果設計系統第i，i=1, …, n-1 階的NDO狀態方程為[16]

第Ⅱ類NDO：當i=n 時，針對dn設計NDO 進行觀測補償，此時dn和系統第n 階中的不確定性F =F ( t, x )相互耦合。

定理2：如果設計系統第n 階NDO 狀態方程為

2.2 反推TSM 控制器設計及穩定性分析

控制器設計中，定義式(1)狀態跟蹤誤差為

其中：αi-1為第i 步的虛擬控制函數。

反推TSM 控制器由BC 和TSM 相結合設計而成，共有n 步，前n-1 步采用BC 設計過渡控制函數；第n 步設計系統建模誤差自適應律和TSM 控制器。具體設計過程詳述如下。

步驟1：由式(1)和式(13)，對z1求導可得

式(14)中，定義x2為

其中： c1∈R+為待定常數。由式(14)～(15)可得

基于式(16)，取步驟1 的過渡控制函數 β1如下：

步驟i(i=2, 3, …, n-2)：由式(1)和式(13)有

式(18)中，定義xi+1為

其中：ci∈R+, i=2, …,n -2為待定常數。由式(18)～(19)可得：

基于式(20)，取步驟i 的過渡控制函數 βi為

步驟n-1：由式(1)和式(13)有

此時，不同于步驟i，i=2, 3, …, n-2，定義xn為

其中：cn-1∈R+為待定常數。由式(22)～(23)可得

基于式(24)，取步驟n-1 的過渡控制函數βn-1為

其中：τi∈(0,1)為LPF 時間常數。定義LPF 邊界誤差為 ωi= αi- βi，由式(26)可得

對 ωi求導，由式(27)可得

為便于系統控制器設計，在此給出引理1。

引理1：對于?x,y ∈Rn，有如下不等式成立：

由引理1 和式(28)可得：

定義步驟i(i=1, …, n-1)的Lyapunov 函數為

由式(16)，(20)，(24)和(30)可得，當i=1, …, n-2時，有

當i=n-1 時，有

ξ 為正常數，定義如下：

步驟n：由式(1)和式(13)有

設計如下的系統終端滑模面：

其中：μ 為待定參數；p 和q 為正奇數，滿足1＜p/q＜2。

則對于本文設計的基于NDO 的反推TSM 軌跡跟蹤控制方法，其穩定性如定理3 所述。

定理3：針對如式(1)所示的一類高階不確定非線性系統輸出跟蹤問題，當系統不確定性和跟蹤軌跡滿足假設1～假設3 時，如果設計如式(3)和式(9)所示的NDO，設計系統建模誤差自適應律為

設計系統終端滑模控制律為

則系統是Lyapunov 穩定的，且輸出跟蹤誤差一致終結有界。其中μ ，p，q，h1，h2，τi, ci,和Li(i=1, 2, …,n)是合適的設計參數。

證 明： 式(37) 中， tanh(δ s) =(eδs-e-δs)/(eδs+e-δs)為連續可導的雙曲正切函數，用來替換傳統滑模中不連續不可導的符號函數sgn( s )，當調節系數δ →∞有tanh(δ s) →sgn( s)。對式(35)中s 求導并代入 μ1得

定義步驟n 的Lyapunov 函數為

對式(40)求導可得

定義系統Lyapunov 函數為V = Vn+Vn-1，即

對V 求導，并由假設2 可得

把式(38)代入式(43)可得

把式(36)～(37)代入式(44)可得

3 數值仿真及分析

考慮如式(47)所示三階不確定非線性系統：

即由外界未知干擾引起的系統不確定性為 d1=1.5sint ，d2=x1sin( x3) -0.8t e-0.5t， d3=0.1cos(2t )+0.6x2x3sinx1。系統狀態函數f=2x13+x1sin x2+3x1x2x3，控制增益g = 3 +0.5sinx1，系統建模誤差F=0.02x22+0.01sinx2+0.01x2x3。

設系統跟蹤軌跡xd=sin( t) +sin(0.5t )，初始狀態x0=[0.1,0.2, -0.2]T。控制器參數取值如下：h1=2,h2=10, c1=5, c2=20, L1=15, L2=10, L3=50, μ=1.5, γ=0.01,s0=0.01, p=7, q=5, δ=2, τ1=0.15, τ2=0.05。

首先，采用本文設計的基于NDO 的反推TSM 控制器，稱為控制器1；其次，設計無NDO 的傳統終端滑模控制器，且采用飽和函數sat( s )替換符號函數，取飽和函數邊界層厚度φ =0.05，稱為控制器2。在相同控制參數和不確定性下，對式(47)進行軌跡跟蹤仿真。控制器1 和控制器2 的跟蹤軌跡、跟蹤誤差和控制輸入分別設為y1，e1，u1和y2，e2，u2。仿真結果如圖2～6 所示。

由圖2 和圖3 可知：在控制器1 和控制器2 作用下，系統(47)輸出均能夠實現對xd的穩定跟蹤，y1和xd基本重合，y2和xd則有較大誤差，即跟蹤誤差e1明顯小于e2，同時，跟蹤誤差有限時間內收斂到零點的一個有限鄰域內。

由圖4 和圖5 可知：對于2 個控制器的控制信號而言，u1平滑無抖振，而u2在開始出現劇烈抖振，經過約2.1 s 才進入無抖振狀態，且控制信號幅值大于u1。

圖2 2 種控制器的跟蹤軌跡Fig.2 Tracking trajectories of two controllers

圖3 2 種控制器的跟蹤誤差Fig.3 Tracking errors of two controllers

圖4 控制器1 的控制輸入和自適應律Fig.4 Control input and adaptive law of controller 1

圖5 控制器2 的控制輸入Fig.5 Control input of controller 2

圖6 系統不確定性和NDOs 觀測值Fig.6 System uncertainties and observations of NDOs

進一步，定義2 種控制器的跟蹤誤差e 和控制能耗E 如下：

則可得2 種控制器的性能比較如表1 所示。

控制器類型e E控制器1 0.029 114.294控制器2 0.223 431.403

由表1 可知：與控制器2 相比，本文設計的控制器1 具有跟蹤誤差小和控制能耗低的優點，同時也驗證了飽和函數雖然能夠降低抖振，卻是以降低跟蹤精度和提高控制能耗為代價的；不足之處在于：由于NDO 觀測誤差的存在和自適應律調整能力的有限，導致系統輸出跟蹤存在一定的誤差，但是可以通過控制參數的調整，把輸出跟蹤誤差限制在精度要求之內。

4 結論

1) 針對一類高階非匹配不確定非線性系統，結合動態面控制思想，設計了一種基于NDO 的反推TSM控制方法。設計NDO 實現對由外界干擾引起的系統非匹配不確定性的精確觀測和補償，NDO 指數收斂且觀測誤差有界；引入自適應律邊界層厚度設計魯棒自適應律，實現對系統建模誤差的估計；借鑒動態面控制方法解決“微分爆炸”問題，最終實現系統輸出對指定軌跡的穩定跟蹤，且跟蹤誤差一致終結有界。

2) 與無NDO 的傳統終端滑模控制器相比，本文設計的控制方法跟蹤精度高，控制能耗低，并在消除抖振的同時，確保了控制器的魯棒性。

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