混凝土碳化深度預測中的貝葉斯方法及應用

李英民 ，周小龍，賈傳果

(1. 重慶大學 土木工程學院，重慶，400045；2. 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶，400045)

在混凝土結構耐久性研究中，一個極為關鍵的問題就是混凝土碳化速度的準確評定，國內外學者對這個問題進行了大量研究[1-2]，也提出過許多相關模型，不同的模型指導著不同國家的耐久性設計規范。我國作為擁有混凝土結構最多的國家，近年來關于混凝土碳化深度預測模型的研究也很多[3-6]。張譽等[3]建立了環境濕度較大時的碳化深度預測模型；牛荻濤模型[4]對影響混凝土碳化的因素考慮最全面；潘洪科等[5-6]建立了考慮應力因素的混凝土碳化深度預測模型。雖然這些模型對預測混凝土碳化深度有借鑒作用，但由于一般大氣環境下，影響混凝土碳化深度的因素很多，隨機性也很大。這些模型都不能反映實際工程中各種影響因素具有時變性的特點，更不能實時考慮混凝土結構在服役過程中通過實際檢測所獲得的新信息。特別是混凝土結構服役時間跨度大，各種影響因素具有很強的個性和不確定性。譬如由于結構劣化或地震損傷等因素很可能造成結構中應力出現轉移或變化，如果簡單地采用統一的碳化深度預測公式，而不考慮這些因素變化所帶來的影響，可能使結果失真。考慮到結構在服役過程中采集到的數據能夠降低這些影響因素的不確定性，若能找到一種方法既能使用已有的碳化深度預測公式又能及時充分考慮實際工程中檢測到的新數據，則混凝土結構碳化深度的預測結果會更可靠，而貝葉斯方法為這一矛盾的解決提供了有效的途徑[7-11]。貝葉斯方法的基本思路是：若基于已有預測模型確定的樣本分布中某一狀態參數的先驗概率分布與基于實際檢測數據而確定的該狀態參數的條件后驗概率分布一致，則可依據后驗分布概率密度對先驗分布的相關參數重新進行估計和檢驗。由于基于貝葉斯方法的預測結果平衡了主觀先驗樣本信息和客觀后驗檢測樣本信息，這樣能使預測結果的準確性和客觀性得到有效提高。

1 混凝土碳化深度預測模型更新

1.1 混凝土碳化深度先驗信息模型

引入貝葉斯更新方法對混凝土碳化深度進行預測，首要任務就是先選擇一個已有的預測模型作為先驗模型，然后對該預測模型的預測結果進行修正。由于影響混凝土碳化的因素有很多，為了選擇一個較準確的碳化深度預測模型，需要盡可能多地考慮這些因素的影響。目前國內對混凝土碳化深度影響因素研究最全面的是牛荻濤提出的預測模型[4]。但該模型簡單規定拉應力影響系數取1.1，壓應力影響系數取1.0，使得拉應力狀態下的預測結果偏于不安全、壓應力狀態下的預測結果偏于保守。而事實上，混凝土構件所處的應力狀態對該處碳化深度的影響是顯著的。

在前期研究過程中，本文作者通過對不同拉壓應力狀態下的混凝土試件的快速碳化試驗數據進行分析，在牛荻濤模型[4]的基礎上提出了考慮不同應力水平的混凝土碳化深度預測模型。該預測模型能較好反映混凝土結構在服役期內碳化深度的演化規律，可作為貝葉斯方法中的先驗信息，預測模型如下：

其中，受拉時：

受壓時：

式中：xt為齡期為t 時混凝土構件碳化深度預測值；kj為碳化位置影響系數，角部取1.4，非角部取1.0；k(CO2)為CO2濃度影響系數，取k(CO2)=(c0/0.03)0.5，c0為二氧化碳濃度；kp為澆筑面修正系數，根據實際工程調查，建議對澆筑面取kp=1.0[4]；kf為混凝土質量影響因素，取kf=57.94/fcuk-0.76[4]；f(σs, w/c)為綜合考慮應力水平和水灰比因素的影響系數，σt，σc和σs分別為混凝土構件軸心受拉和受壓強度以及碳化位置應力，w/c為水灰比；T 為混凝土構件表面附近年平均溫度；HR為構件表面附近年平均濕度；t 為混凝土碳化時間，a。

1.2 貝葉斯方法對碳化深度均值的重估計

統計資料表明[4,12-13]，混凝土碳化深度的隨機分布模型符合正態分布。由于不同的混凝土結構其碳化深度統計樣本的狀態參數(方差σ2和均值μ)并不一致，而應用貝葉斯方法對預測模型進行第1 次修正時，一般方差σ2并不能確定，但若需要進行第2 次更新，則先驗模型的隨機分布參數方差σ2可通過分析前一次的檢測樣本來確定。因此，本文將分別推導總體樣本分布中具有2個未知狀態參數(方差σ2和均值μ)的貝葉斯公式和僅有1 個未知狀態參數(均值μ)的貝葉斯公式。

1.2.1 總體樣本均值與方差未知時的貝葉斯估計

將t時刻混凝土構件碳化深度檢測值x1, x2, x3, …,xn記為來自總體樣本N(μ,σ2)的1 個樣本，假設μ，σ2已知，則該檢測樣本的似然函數為

式中：∝表示兩邊僅相差1 個常數因子。

根據貝葉斯理論，當給定混凝土碳化深度的檢測樣本分布p(x|μ, σn2)和先驗分布π(μ,σ2)后，μ和σ2的后驗條件概率可表示為π(u,σ2|x)=p(x|u,σ2)π(u,σ2)/m(x)。式中：m(x)為一個不依賴于μ,σ2的表達式，起到一個正規化因子的作用。故貝葉斯公式可以等價為

式(3)同時充分考慮了預測公式和檢測樣本中μ和σ2的信息，可以視為是對先驗信息的一個調整結果，因此，基于貝葉斯方法對μ和σ2的統計推斷更合理和有效。

雖然先驗分布中均值μ和方差σ2均未知，但二者具有相依性，σ2的變化肯定會伴隨有μ的改變，故σ2的先驗分布取倒伽馬分布[7,14]比較合適，記為σ2～IGa ( v0/2,v0σ02/2)。μ 的先驗分布可取為正態分布，記為：μ |σ2～ N(μ0,σ2/ k0)，式中k0為先驗自由度，σ2/k0表示對均值μ的先驗方差做適當調整，以反映均值μ的先驗方差和檢測值x 的方差的不同。假設ν0和μ0已知，則μ和σ2的聯合先驗分布為

這種形式的分布稱為正態-倒伽馬分布，記為：N ～IGa ( v0, μ0,σ02/2)。

將式(2)和式(4)代入式(3)，式(3)可表示為

其中：

通過對比式(4)和式(5)可以看出：兩式具有相同的概率分布，即正態-倒伽馬分布。因此，總體樣本均值μ和方差σ2均未知時，可利用式(6)對混凝土碳化深度做出估計，即t 時刻經調整后的混凝土碳化深度平均值μt=μn。

1.2.2 總體樣本方差已知時的貝葉斯估計

將總體樣本分布記為N(μ,σ2)，其中σ2已知，則t時刻檢測樣本{x1, x2,…, xn}的似然函數可表示為

取另一正態分布N(ω,τ2)作為均值μ的先驗分布，即

則μ的條件后驗分布為：π(μ|x)∝p(x|μ)·π(μ)，同前述∝表示式子兩邊只相差一個常數因子，代入式(7)和(8)得：

由式(10)可以看出：混凝土碳化深度均值μ的后驗分布同其先驗分布一樣均服從正態分布。因此，根據貝葉斯方法，可以通過均值的條件后驗概率分布來對混凝土碳化深度做出修正，即t 時刻混凝土碳化深度均值修正值ωt為

1.3 混凝土碳化深度預測公式更新

式(6)和式(11)分別給出了統計參數方差σ2和均值μ均未知時以及僅有均值μ未知時對先驗混凝土碳化深度預測值的修正方法。可以看出，無論哪種情況碳化深度修正值均是先驗均值與檢測樣本均值的加權平均，對于方差和均值未知時，權重依次為 κ0/(κ0+ n)和n/(κ0+ n)；當方差已知時，權重依次為ω /(τ2+σ02)和τ2/(τ2+σ02)。令 λ1=n/(κ0+ n)和λ2=τ2/(τ2+σ02)，式(6)和式(11)可統一表示為

由式(12)可知：基于貝葉斯方法的混凝土碳化深度模型修正主要問題就是確定λi。確定λ1時，κ0可根據先驗預測模型的置信水平取值，一般可取先驗信息的樣本個數，n 為實際檢樣本的個數；確定λ2時，σ2可取前一次或幾次預測時檢測樣本方差的最大似然估計值，τ2取當前檢測樣本方差的最大似然估計值即

圖1 給出了混凝土碳化深度基于貝葉斯方法的更新過程。

圖1 基于貝葉斯方法的碳化深度預測值更新流程圖Fig.1 Flow diagram of carbonation depth prediction based on Bayesian method

2 算例分析

為了驗證貝葉斯方法對改進混凝土碳化深度預測結果的準確性和有效性，同時考慮到在混凝土碳化深度預測模型中，僅有應力因素可能在結構的服役期內變化較明顯，因此作者搜集了文獻[5, 15]中的試驗數據來進行分析。其中文獻[5]給出了混凝土試件處于拉應力狀態時的快速碳化試驗結果，該試驗的相關環境參數如下：年平均溫度為20 ℃，環境年平均濕度為70%，二氧化碳體積分數為20%，水灰比為0.4，混凝土立方體抗壓強度為26 MPa，應力水平為0.35；文獻[15]給出了室內自然暴露10 a 的幾組試件在不同齡期時碳化深度的實測值，該試驗的相關環境參數如下：年平均溫度為20 ℃，環境年平均濕度為70%，二氧化碳體積分數為0.034%，水灰比為0.65，混凝土立方體抗壓強度為17.9 MPa，應力水平為0。本文同時選取式(1)模型和牛荻濤模型[4]作為貝葉斯數據更新時的先驗信息。圖2 給出了以上2 個試件實際檢測的碳化深度和通過預測模型確定的混凝土碳化深度的對比。

從圖2 可以看出：1) 在2 種工況下，式(1)模型的預測結果均比牛荻濤模型的預測結果相對誤差小；2)式(1)模型和牛荻濤模型在試件處于有應力狀態時的預測結果均比試件處于無應力狀態時的預測結果相對誤差小，這主要是因為雖然文獻[15]中的試件未受外部荷載作用，但由于試件自身重力作用，試件內部也會處于有應力狀態；3) 牛荻濤模型在2 種工況下的預測結果均隨著混凝土試件碳化齡期的增長相對誤差逐漸增大，而式(1)模型隨著混凝土碳化齡期的增長預測結果的相對誤差分布較均勻，這種現象的產生主要與預測模型本身的準確程度有關。通過以上分析可以得出：混凝土的碳化深度預測模型應充分考慮應力因素的影響，特別是實際工程中混凝土結構隨著齡期的增長，應力因素的不確定性將增大，預測相對誤差也將隨之增大。本文根據貝葉斯數據更新方法，仍結合文獻[5]和[15]中的實測數據分別對式(1)模型和牛荻濤模型進行檢驗和重評估。圖3 和圖4 分別給出了式(1)和牛荻濤模型經Bayesian 方法更新后的預測曲線，其中圖3 和圖4 中貝葉斯第1 次更新均是在考慮t2時刻檢測值的基礎上對預測模型進行修正，然后與后續碳化齡期為t3～t4時刻的檢測值對比。而第2 次貝葉斯更新是在考慮t3時刻檢測值的基礎上對t2時刻修正后的模型再調整，即第1 次貝葉斯更新與t3～t4時刻的檢測值無關，第2 次貝葉斯更新與t4時刻的檢測值無關。

圖2 已有預測模型碳化深度預測值與試驗值對比Fig.2 Comparison of predicting data via established models with measured data

從圖3 和圖4 可以看出：1) 經貝葉斯方法更新后的預測曲線平衡了先驗預測模型中的信息和實際檢測樣本中的信息，更新后的預測值更接近實測值；2)更新后的預測曲線在未來齡期內的發展趨勢與先驗預測模型所反映的規律一致；3) 經有限次數的數據更新能使預測結果精度得到明顯改善；4) 較好地先驗預測模型只需較少次數的貝葉斯更新，就能使預測結果達到較高的準確度。表1 所示為式(1)模型和牛荻濤模型結合實際檢測數據經貝葉斯更新后的預測值及相對誤差。從表1 可以看出：每經過一次貝葉斯更新，混凝土構件在未來齡期的碳化深度預測值的準確度都會得到提高。同時，需要指出的是在以上2 個實例中經貝葉斯方法更新后的預測結果與實測值的誤差分布較均勻，且隨著齡期的增大，誤差逐漸減小。這主要是因為文獻[5]和[15]中試件在試驗過程中處于較穩定的環境中，各種影響因素在不同齡期內變化不大，且隨著齡期的增長這些因素也更趨于穩定。但實際工程中，由于結構服役時間跨度大，各種影響因素特別是應力因素的變化較顯著，因此，引入貝葉斯方法對混凝土碳化深度進行預測很有必要。

圖3 式(1)模型Bayesian 更新Fig.3 Bayesian updating of Formula (1)

圖4 牛荻濤模型Bayesian 更新Fig.4 Bayesian updating of NIU Ditao model

文獻 碳齡化期實測數據x/mm式(1)模型 牛荻濤模型 式(1)模型 牛荻濤模型 式(1)模型 牛荻濤模型初始預測值/mm相對誤差/%初始預測值/mm相對誤差/%一次更新后預測值/mm相對誤差/%一次更新預測值/mm相對誤差/%二次更新預測值/mm相對誤差/%二次更新預測值/mm相對誤差/%文獻[5](有應力狀態)文獻[15](無應力狀態)24 d 13.4 13.300.7 9.68 27.7— — — — — — — —31 d 16.2 15.017.4 11.00 32.115.84 2.214.649.6— — — —45 d 19.5 18.186.8 13.26 32.019.10 2.017.639.619.38 0.6 18.942.9 62 d 22.5 21.345.2 15.57 30.822.15 1.520.429.222.39 0.4 21.882.8 1 a 6.02 5.43 9.8 3.00 50.2— — — — — — — —2 a 10.52 7.68 27.0 4.24 59.79.67 8.18.64 17.9— — — —5 a 14.92 12.14 18.7 6.71 55.114.09 5.612.46 16.514.67 1.7 14.185.0 10 a 19.21 17.17 10.6 9.48 50.618.60 3.216.29 15.219.03 1.0 18.334.6

3 結論

1) 貝葉斯數據更新方法充分考慮了已有預測模型和實際檢測樣本所提供的信息，基于貝葉斯的混凝土碳化深度預測結果更接近真實。

2) 經貝葉斯方法更新后的預測曲線與先驗預測模型曲線的變化規律一致。

3) 先驗預測模型經過有限次數的貝葉斯數據更新就能使預測結果明顯改善。

4) 較好的先驗預測模型只需經過較少次數的貝葉斯更新，就能使預測結果達到較高的準度。

[1] Tomosawa F. Japan’s experiences and standards on the durability problems of reinforced concrete structures[J]. International Journal of Structural Engineering. 2009, 1(1): 1-12.

[2] Mingfang B, Chunxiang Q. Probabilistic method and its application for evaluating carbonation life of newly-built concrete structures[J]. Journal of Southeast University (English Edition), 2010, 4(26): 578-581.

[3] 張譽, 蔣利學. 基于碳化機理的混凝土碳化深度實用數學模型[J]. 工業建筑, 1998, 28(1): 16-19.ZHANG Yu, JIANG Lixue. A practical mathematical model of concrete carbonation depth based on the mechanism[J].Industrial Construction, 1998, 28(1): 16-19.

[4] 牛狄濤. 混凝土結構耐久性與壽命預測[M]. 北京: 科學出版社, 2003: 18-33.NIU Ditao. Durability and life forecast of reinforced concrete structure[M]. Beijing: Science Press, 2003: 18-33.

[5] 潘洪科, 牛季收, 楊林德, 等. 地下工程砼結構基于碳化作用的耐久性劣化模型[J]. 工程力學, 2008, 25(7): 172-178.PAN Hongke, NIU Jishou, YANG Linde, et al. The durability deterioration model based on carbonation for underground concrete structures[J]. Engineering Mechanics, 2008, 25(7):172-178.

[6] 羅小勇, 鄒洪波, 施清亮. 不同應力狀態下混凝土碳化耐久性試驗研究[J]. 自然災害學報, 2012, 21(2): 194-199.LUO Xiaoyong, ZOU Hongbo, SHI Qingliang. Experimental study on durability of concrete carbonation at different stress states[J]. Journal of Natural Disasters, 2012, 21(2): 194-199.

[7] 卯詩松. 貝葉斯統計[M]. 北京: 中國計劃出版社, 2000: 6-28.MAO Shisong. Bayesian statistics[M]. Beijing: China Planning Press, 2000: 6-28.

[8] 衛軍, 羅扣. 基于貝葉斯方法的時變可靠度分析[J]. 華中科技大學學報(自然科學版), 2007, 35(2): 1-3.WEI Jun, LUO Kou. Analysis of time-dependent reliability by using Bayesian approach[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology (Nature Science Edition), 2007, 35(2):1-3.

[9] 劉書奎, 吳子燕, 韓暉, 等. 基于物理參數貝葉斯更新的橋梁剩余強度估計研究[J]. 工程力學, 2011, 28(8): 126-132.LIU Shukui, WU Ziyan, HAN Hui, et al. Remaining load capacity estimation of bridge structures based on the Bayesian updated physical parameters[J]. Engineering Mechanics, 2011,28(8): 126-132.

[10] 寧寶寬, 王維綱. 淺基礎可靠性設計中的貝葉斯統計方法及應用[J]. 沈陽工業大學學報, 2005, 27(1): 103-106.NING Baokuan, WANG Weigang. Bayesian statistical method and its application in reliability design of shallow foundation[J].Journal of Shenyang University of Technology, 2005, 27(1):103-106.

[11] 吳本英, 周錫武. 基于貝葉斯方法的混凝土結構碳化深度預測研究[J]. 武漢理工大學學報, 2011, 33(3): 103-107.WU Benying, ZHOU Xiwu. Carbonation depth prediction of concrete structures based on Bayesian approach[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2011, 33(3): 103-107.

[12] 丁伯陽, 鄭工欽, 孔德玉. 概率模型分析與混凝土碳化[J]. 浙江工業大學學報, 2006, 34(2): 210-212, 219.DING Boyang ZHENG Gongqin, KONG Deyu, et al. The concrete carbonating and analysis of probabilistic model[J].Journal of Zhejiang University of Technology, 2006, 34(2):210-212, 219.

[13] 屈文俊, 陳道普. 混凝土碳化的隨機模型[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2007, 35(5): 577-581.QU Wenjun, CHEN Daopu. Stochastic model of concrete carbonation[J]. Journal of Tongji University (Natural Science),2007, 35(5): 577-581.

[14] 易偉建, 劉翔. 基于貝葉斯估計的結構固有頻率不確定性分析[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(7): 19-23.YI Weijian, LIU Xiang. Uncertainty analysis of structural natural frequencies based on Bayesian estimation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(7): 19-23.

[15] 張令茂, 江文輝. 混凝土自然碳化及其與人工加速碳化的相關性研究[J]. 西安冶金建筑學院學報, 1990, 22(3): 207-214.ZHANG Lingmao, JIANG Wenhui. A study on carbonation of concrete in natural condition and its correlation with artificial accelerated carbonation[J]. Journal of Xi’an Institute of Metallurgy and Construction Engineering, 1990, 22(3):207-214.