基于模糊預測性線性規(guī)劃的礦山產(chǎn)能分配方案優(yōu)化分析

陳忠強 ，王李管 ，熊書敏 ，宋明軍

(1. 中南大學 資源與安全工程學院，湖南 長沙，410083；2. 中南大學 數(shù)字礦山研究中心，湖南 長沙，410083)

對新建礦山而言，其生產(chǎn)規(guī)模(即礦石年產(chǎn)量)由礦石儲量與設(shè)計生產(chǎn)服務(wù)年限綜合決定，在確定生產(chǎn)規(guī)模后，還需要確定礦山產(chǎn)能分配的方案。傳統(tǒng)的礦山產(chǎn)能分配方案大多只是以各采區(qū)的礦石品位、礦石儲量為基礎(chǔ)，依靠礦山設(shè)計人員或采礦工作者的經(jīng)驗進行確定，缺乏科學系統(tǒng)分析的過程。實際上由于各采區(qū)的礦石品位的差異，其單位礦石價格與利潤必然不同，而且由于各采區(qū)水文地質(zhì)條件以及與坑口距離等礦石開采條件的差異，生產(chǎn)單位礦石對支護材料、能源以及人力的消費必然也不同。因此需要對礦山產(chǎn)能分配方案進行系統(tǒng)分析，才能達到資源能源與人力的最優(yōu)配置與礦山企業(yè)利潤的最大化。傳統(tǒng)的對于此類資源優(yōu)化配置問題大多采用線性規(guī)劃模型進行求解計算加以確定，然而對于礦山產(chǎn)能分配方案的優(yōu)化配置而言，一般的線性規(guī)劃問題顯然無法解決。首先，對于新建礦山而言，各采區(qū)生產(chǎn)單位礦石的資源、能源以及人力等的消耗并不是一個確定值，只能根據(jù)條件相似礦山而確定一個大概范圍；其次在礦山的生產(chǎn)實踐中，對于各類投資往往并不是完全確定的，在礦山建設(shè)過程中都存在追加或者減少資源、能源以及人力投入的可能性，這些投入都只是一個模糊的概念。而一般線性規(guī)劃模型只能求解目標與約束都是確定值的問題，對于此類問題顯然無法解決。針對此種情況，在一般線性規(guī)劃問題中引入模糊數(shù)學[1]與灰色理論[2]的思想。對于各采區(qū)生產(chǎn)單位礦石產(chǎn)品所需要消耗的資源、能源以及人力等屬于某一范圍的值，采用灰數(shù)[3-5]表示。而對于資源、能源以及人力總投入等常常有追加或減少的情況，采用模糊約束，這樣就建立了礦山產(chǎn)能優(yōu)化分配的模糊預測性線性規(guī)劃模型，對模型中屬于某一范圍的值利用多種灰色預測理論進行精度比較后[6-7]進行預測，使之白化變?yōu)槎ㄖ担喕癁槟：€性規(guī)劃[8-10]，對模糊線性規(guī)劃通過構(gòu)建隸屬函數(shù)，并利用模糊最優(yōu)判決條件轉(zhuǎn)變?yōu)橐话憔€性規(guī)劃問題，進而進行求解得到礦山的最優(yōu)產(chǎn)能分配方案。模糊預測性線性規(guī)劃模型綜合了模糊線性規(guī)劃與灰色預測性線性規(guī)劃[11-12]的特征，并且可以在一定條件下轉(zhuǎn)化為模糊線性規(guī)劃與灰色預測性線性規(guī)劃，很適合解決目標與參數(shù)皆不明確時的產(chǎn)能優(yōu)化分配問題。因此相對于傳統(tǒng)的幾類線性規(guī)劃模型，在生產(chǎn)實踐中有著更大適用空間與應用價值。

1 模型建立

1.1 模糊預測性線性規(guī)劃理論

對于礦山產(chǎn)能分配問題，如果其目標與約束都明確，則其為確定性的一般線性規(guī)劃問題，其標準形式為：

式中：C 為價格向量，A 為消耗矩陣，b 為約束向量，X 為決策向量。

當?shù)V山的資源、能源與人力等約束條件及目標函數(shù)模糊，而且生產(chǎn)單位礦石的各種資源、能源及人力消耗以及所獲得的利潤都不確定，只能確定大概范圍，即為有界灰元，此時線性規(guī)劃模型變?yōu)椋?/p>

上述模型由于兼有模糊數(shù)學與灰色理論的思想，被稱為模糊預測性線性規(guī)劃模型[13-17]，該模型實際上是模糊線性規(guī)劃與灰色預測性線性規(guī)劃的綜合，在有界灰元被白化的情況下可轉(zhuǎn)化為模糊線性規(guī)劃問題，在模糊關(guān)系明確的情況下可轉(zhuǎn)化為灰色預測性線性規(guī)劃問題。

對模糊預測性線性規(guī)劃的一般求解思路為，將各灰元進行白化，變?yōu)槟：€性規(guī)劃問題，然后按照模糊線性規(guī)劃問題的解法進行求解。

1.2 系統(tǒng)建模

1.2.1 模糊預測性線性規(guī)劃模型構(gòu)建

設(shè)一礦山有n 個不同的采區(qū)，每個采區(qū)的產(chǎn)能分別為x1，x2，…，xn，則其礦山產(chǎn)能分配決策向量為：

由于各采區(qū)礦石地質(zhì)品位及開采條件的差異，各采區(qū)生產(chǎn)的單位礦石其利潤c1，c2，…，cn并不一樣，而且單位礦石的利潤每一年都隨著價格，原材料、人力的變化而變化，即單位礦石的利潤是灰色的，則利潤向量C 可變?yōu)榛疑麧櫹蛄緾(?)：

i 礦區(qū)生產(chǎn)單位礦石所消耗的j 種物質(zhì)(材料、能源或人力等)aij也不是一個定值，隨著技術(shù)革新與科技進步，生產(chǎn)單位礦石所消耗的材料必然會逐年發(fā)生變化，因此aij也是一個灰色的數(shù)，即aij(?)，據(jù)此得到消耗矩陣A(?)為：

而外部環(huán)境為礦山生產(chǎn)所提供的資源、能源以及人力等投入，也并不是完全一成不變的，往往會隨著投資方對形勢的判斷，決策者的意圖以及外部環(huán)境的變化而有追加或減少投入的情況，即投入約束向量B為模糊向量，據(jù)此建立起礦山產(chǎn)能配置的模糊預測型線性規(guī)劃模型如下：

1.2.2 灰元系數(shù)白化

對生產(chǎn)單位礦石的利潤與消耗這些有界灰元，模糊預測性線性規(guī)劃模型借鑒灰色預測型線性規(guī)劃模型采用利潤定位系數(shù)ρj以及消耗定位系數(shù)δij對灰元系數(shù)進行白化，白化處理方式如下：

利用利潤定位系數(shù)ρi對i 采區(qū)生產(chǎn)單位礦石獲得的利潤進行白化：

利用消耗定位系數(shù)δij對i 采區(qū)生產(chǎn)單位礦石所消耗的第j 種資源或能源進行白化：

利潤定位系數(shù)及消耗定位系數(shù)的準確確定關(guān)系到未來礦山產(chǎn)能分配的合理性與可靠性。對此，采用多種預測模型進行精度比較后，選擇最優(yōu)預測模型來確定利潤定位系數(shù)與消耗定位系數(shù)，常用的灰色預測模型有GM(1,1)模型、微分verhulst模型以及差分verhulst模型。

對3 種模型進行精度比較[18]，選取精度最高的模型進行各定位系數(shù)的預測。

1.2.3 模糊線性規(guī)劃模型求解

將各系數(shù)準確白化后，礦山陳能配置的模糊預測性線性規(guī)劃模型就變?yōu)榱四：€性規(guī)劃模型：

將模糊目標與模糊約束結(jié)合，得到如下形式：

即

確定模糊目標及模糊約束的隸屬函數(shù)，由于隸屬函數(shù)一般都要滿足嚴格遞減的要求，因此其確定原則一般如下：

當(A′ X )i≤ bi時， μi( x) = 1；

當bi＜(A′ X )i≤bi+di時，0＜μi( x) ＜1

當(A′ X)i＞ bi+di時， μi( x) =0

i=1, 2, …, m，[bi，bi+di]稱為違反區(qū)間。

根據(jù)上述原則，且為計算方便考慮，因此隸屬函數(shù)取為一條斜率為負的直線，為

根據(jù)模糊數(shù)學基本理論，最優(yōu)判決條件為

根據(jù)最優(yōu)判決條件即可將模糊線性規(guī)劃轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕木€性規(guī)劃模型進行求解，為求解方便，令

得到以求最大隸屬度λ 為目標函數(shù)的一般線性規(guī)劃模型，模型形式如下：

對上述線性規(guī)劃模型求解，即可得到模型的最優(yōu)解，從而得到礦山產(chǎn)能分配的模糊預測性線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解，利用最優(yōu)解的結(jié)果即可對礦山產(chǎn)能進行優(yōu)化配置。

礦山產(chǎn)能配置方案的模糊預測性線性規(guī)劃模型的建模及求解過程見圖1。

圖1 礦山產(chǎn)能分配求解流程Fig.1 Solving process of mining production allocation

2 實例分析

2.1 礦山簡況

湖北某2013 年擬建磷礦山礦區(qū)面積6.97 km2，設(shè)計生產(chǎn)規(guī)模為年產(chǎn)原礦90 萬t，由于礦區(qū)存在一條南北走向的大型逆斷層，上下垂直高差足有近百米，天然地將礦區(qū)分為東西兩大采區(qū)，其中東采區(qū)設(shè)計利用的資源儲量為730 萬t，西采區(qū)設(shè)計利用的資源儲量為1 480 萬t，在對礦山產(chǎn)能方案進行分配時，初始設(shè)計為按照各采區(qū)的資源儲量比例進行分配，即東采區(qū)設(shè)計開采規(guī)模為30 萬t/a，西采區(qū)設(shè)計開采規(guī)模為60 萬t/a。但是由于開采條件及東西采區(qū)礦石品位的差異，東采區(qū)單位礦石的利潤要大于西采區(qū)，因此僅僅按照各采區(qū)資源儲量的比例進行產(chǎn)能分配，顯然不是最優(yōu)方案，不能使得利潤最大。但是如果利潤最大化，就要使單位礦石利潤較大的東采區(qū)的生產(chǎn)規(guī)模盡量大，但是由于水文工程及開采條件的限制，東采區(qū)生產(chǎn)單位礦石所需要的木材，人力以及電力需求都較大，但是這些恰恰是該新建礦山目前生產(chǎn)的緊缺資源或能源，因此需要綜合考慮產(chǎn)品利潤及外部環(huán)境的約束，來確定礦山最優(yōu)的各采區(qū)產(chǎn)能分配方案。

該礦山由于是新建礦山，外部環(huán)境并不十分完善，而且由于周圍磷礦山較多，因此技術(shù)工人相對不足，電力供給以及支護材料都很緊張，人力、電力以及部分支護用材料(主要是木材)成為礦山生產(chǎn)規(guī)模的主要制約因素，統(tǒng)計相似礦山的生產(chǎn)實際資并分析估計，得到東采區(qū)每生產(chǎn)1 t 礦石的消耗為：工時1.87～3.62個，電力12～30 kW·h，木材0.000 36～0.000 63 m3；西采區(qū)每生產(chǎn)1 t 礦石的消耗為：工時1.45～2.87 個，電力10～24 kW·h，木材0.000 26～0.000 47 m3。以當前的市場價格進行測算，東采區(qū)生產(chǎn)單位礦石的利潤約為180 元/t，西采區(qū)生產(chǎn)單位礦石的利潤約為130 元/t。而礦山目前已經(jīng)確定招募的一線技術(shù)工人為850 人(折算為2 040 000 個工時)，每年得到的外部電力供給約為1 800 萬kW·h，每年當?shù)夭煞サ玫降哪静募s為510 m3。根據(jù)礦山計劃，將繼續(xù)招募工人，并在外部建設(shè)1 個小型的變電站，因此預計一線技術(shù)工人將有可能達到900 人左右，每年得到的外部電力供給有可能達到2 000 萬kW·h，而木材也有可能達到550 m3。據(jù)此，得到該礦山產(chǎn)能分配優(yōu)化的灰色預測型線性規(guī)劃模型如下：

其中：東采區(qū)的礦石產(chǎn)量為x1，西采區(qū)的礦石產(chǎn)量為x2。灰參數(shù) a11( ?) ∈[1.87,3.62]， a12(? ) ∈[1.47,2.87]，a21( ?) ∈[12,30]，a22( ?) ∈[10,24]，a31( ?)∈[0.000 36,0.000 63]， a32( ?) ∈[0.000 26,0.000 47]。

若想對礦山產(chǎn)能分配的模糊預測性線性規(guī)劃模型進行求解，首先要利用各定位系數(shù)對灰參數(shù)進行白化，去掉其灰色屬性，將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕哪：€性規(guī)劃問題。

2.2 多預測模型的定位系數(shù)白化

根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計資料，采用式(7)進行反算得到類似東采區(qū)的礦山與類似西采區(qū)的礦山2004～2012 年的消耗定位系數(shù)見表1。

為得到與實際情況相符的產(chǎn)能分配結(jié)果，各消耗系數(shù)的準確預測白化是關(guān)鍵，以往的灰色預測型線性規(guī)劃模型在對各類定位進行白化時，大多是以GM(1,1) 模型進行白化的，實際上對于各類定位系數(shù)而言，GM(1,1)模型并不一定是預測精度最高的模型，因此需要采用多種預測模型進行預測精度比較后，再選擇精度最高的模型進行定位系數(shù)的預測白化。

東采區(qū)礦石生產(chǎn)消耗定位系數(shù) 西采區(qū)礦石系生數(shù)產(chǎn)消耗定位年份 工時消耗系數(shù)δ11電力消耗系數(shù)δ21木材消耗系數(shù)δ31工時消耗系數(shù)δ12電力消耗系數(shù)δ22木材消耗系數(shù)δ32 2004 0.89 0.88 0.90 0.71 0.87 0.84 2005 0.86 0.84 0.85 0.66 0.82 0.80 2006 0.81 0.79 0.81 0.61 0.78 0.76 2007 0.76 0.76 0.75 0.55 0.75 0.73 2008 0.72 0.72 0.70 0.51 0.72 0.70 2009 0.69 0.69 0.66 0.46 0.69 0.64 2010 0.67 0.65 0.61 0.43 0.67 0.59 2011 0.64 0.62 0.58 0.39 0.65 0.54 2012 0.62 0.61 0.55 0.36 0.64 0.50

以東采區(qū)單位礦石生產(chǎn)的工時消耗定位系數(shù)的預測白化為例，東采區(qū)礦石生產(chǎn)的工時消耗定位系數(shù)的原始序列為

得到GM(1,1)模型的時間響應序列為：

微分verhulst 模型的時間響應序列為：

差分verhulst 模型的時間響應序列為：

其中：k=0, 1, 2, …, n。

預測值實際值GM(1,1)模型微分VERHULST模型差分VERHULST模型0.89 0.89 0.89 0.89 0.86 0.85 0.85 0.85 0.81 0.81 0.81 0.81 0.76 0.77 0.77 0.77 0.72 0.73 0.73 0.73 0.69 0.70 0.70 0.70 0.67 0.67 0.67 0.67 0.64 0.64 0.64 0.64 0.62 0.61 0.62 0.62殘差平方和 0.000 5 0.000 4 0.000 4相對精度/% 99.42 99.56 99.56小誤差概率p/%100 100 100后驗比值c 0.081 1 0.070 2 0.070 2

根據(jù)誤差分析結(jié)果，微分verhulst 模型與差分verhulst 模型相對于GM(1,1)模型的預測精度要高，而微分verhulst 模型與差分verhulst 模型的精度是一樣的，因此可任意采用兩模型中的任意一種模型對2013年的東采區(qū)工時消耗系數(shù)進行預測，得到兩模型的預測結(jié)果是一致的，均為0.59。

按照以上思路對各定位系數(shù)進行預測，得到最優(yōu)的預測模型及相應的預測結(jié)果見表3。

東采區(qū)礦石生產(chǎn)消耗定位系數(shù) 西采區(qū)礦石生產(chǎn)消耗定位系數(shù)工時消耗系數(shù)δ11 電力消耗系數(shù)δ21 木材消耗系數(shù)δ31 工時消耗系數(shù)δ12 電力消耗系數(shù)δ22 木材消耗系數(shù)δ32最優(yōu)模型 微分verhulst差分verhulst 微分verhulst 微分verhulst 微分verhulst 微差分分vv ee rr hh uu ll ss t t 差分verhulst預測結(jié)果 0.59 0.59 0.51 0.33 0.63 0.45

2.3 模糊線性規(guī)劃模型求解

根據(jù)表3 的定位系數(shù)預測結(jié)果，確定該礦山的噸礦產(chǎn)能分配東采區(qū)生產(chǎn)1 t 礦石的消耗為：工時消耗a11=2.90 個，電力消耗a21=22.62 kW·h，木材消耗a31=0.000 50 m3；西采區(qū)生產(chǎn)1 t 礦石的消耗為工時消耗a11=1.92 個，電力消耗a21=18.82 kW·h，木材消耗a31=0.000 36 m3。根據(jù)單位礦石的消耗將該礦山的產(chǎn)能分配模糊預測型線性優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為模糊線性規(guī)劃模型：

根據(jù)模糊線性規(guī)劃相關(guān)定義，得到工時供給的違反區(qū)間為[2 040 000，2 160 000]，電力供給的違反區(qū)間為[18 000 000，20 000 000]，坑木供給的違反區(qū)間為[510，550]。

在不考慮追加投入的情況下，對模糊預測線性規(guī)劃模型進行求解，即對線性規(guī)劃模型

求解得到當x1=343 820 t，x2=543 180 t，得到最大利潤S=132 500 000 元。

將最大可能的追加投入全部加入到約束條件后再進行求解，即線性模型變?yōu)?/p>

求解得到當 x1*=440 820 t， x*2=459 180 t，得到最大利潤S*=139 040 000 元。

據(jù)此構(gòu)建出目標函數(shù)以及模糊約束條件的隸屬函數(shù)如下。

目標函數(shù)隸屬函數(shù)為

工時約束隸屬函數(shù) μ1( X )為

電力約束隸屬函數(shù) μ2( X )為

木材約束隸屬函數(shù) μ3( X )為

根據(jù)最優(yōu)判決條件，令

得到以求最大隸屬度λ 為目標函數(shù)的一般線性規(guī)劃模型，模型形式如下：

得到最優(yōu)解λ=0.359 1，x1=423 580，x2=453 130，年最大利潤為135 151 300 元。

2.4 產(chǎn)能結(jié)果分析

根據(jù)取得最大利潤時λ=0.359 1，得到此時一線人工人數(shù)為882 人，電力年供應量為19 281 800 kW·h，木材年供應量為536 m3。即在上述條件下，可以得到礦山產(chǎn)能分配的最優(yōu)結(jié)果，此時東采區(qū)年產(chǎn)礦石量為42.36 萬t，西采區(qū)年產(chǎn)礦石量為45.31 萬t，最大年利潤為1.35 億元，此時礦山年總產(chǎn)量為87.67 萬t。

按照產(chǎn)能優(yōu)化分配結(jié)果，東采區(qū)可以生產(chǎn)17 a，西采區(qū)可以生產(chǎn)32 a。

3 結(jié)論

1) 在一般線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上，綜合模糊數(shù)學與灰色系統(tǒng)理論思想，建立模糊預測型線性規(guī)劃模型，利用模糊數(shù)學的思想對約束條件進行了模糊處理，灰色理論的思想對各類消耗進行了有界灰元處理。經(jīng)實例檢驗，該模型對于礦山產(chǎn)能分配時有追加投入以及各種消耗系數(shù)多隨時間在一定范圍內(nèi)變動的情況非常適用。模型求解思路清晰，求解結(jié)果準確，可在相似領(lǐng)域進行推廣使用。

2) 在對模糊預測型線性規(guī)劃模型的各類有界灰元進行白化時，對灰色系數(shù)的白化一定要準確，這關(guān)系到模型最終求解結(jié)果的可靠性。采用多種預測模型進行精度比較后再進行白化的方法得到的結(jié)果比單一預測模型直接白化預測的結(jié)果要更科學、準確。

3) 隸屬函數(shù)的構(gòu)建采用的是直線型隸屬函數(shù)，在很多情況下，其隸屬函數(shù)并不一定是直線型，因此在構(gòu)造隸屬函數(shù)時，除了考慮求解的簡便性外，還應根據(jù)實際情況靈活選取隸屬函數(shù)類型，這樣才能保證求解過程更加科學，求解結(jié)果更加可靠。

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