拓撲環小生境粒子群算法在無功優化中的應用

姜平，王昕，李立學，周荔丹，姚鋼，陳洪濤

（1.上海交通大學電工與電子技術中心，上海 200240；2.上海交通大學電氣系，上海 200240 3.吉林省電力有限公司松原供電公司，松原 138000）

電壓質量對保證電力系統的安全穩定起著重要的作用，電力系統的無功規劃[1]和無功平衡是保證電壓質量的基本條件。合理地規劃無功電源，控制無功的合理流動能有效地降低系統的有功損耗，從而獲得不錯的經濟效益[2]。

無功規劃是電力系統安全運行的一個重要組成部分，通過對電力系統的無功電源進行合理的配置，維持電網電壓水平，改善電網穩定性，減少有功網絡損耗[3]及保證有較寬的運行裕度。對于無功配置進行優化，傳統的方法有線性優化方法中的內點法[4]和非線性優化方法中的混合整數規劃法等。近年來又相繼提出了遺傳算法、Tabu搜索法、啟發式算法、模擬退火算法、粒子群優化等智能優化算法[5]。與傳統的優化方法相比較，遺傳算法以生物進化為原型，具有收斂性好[6]、計算時間少、魯棒性高等優點[7]，但其計算量較大。文獻[8]提出的粒子群算法PSO（paticle swarm optimization）從隨機解出發，通過簡單的迭代尋找最優解，通過對粒子適應度的計算來評判粒子的優劣。與遺傳算法相比，實現上更加簡單，收斂速度也有了明顯的提升。但常規粒子群算法的重大缺陷可能會陷入局部最優[9]；文獻[10]提出了基于自適應小生境粒子群算法，根據各粒子之間的距離，利用共享機制改變粒子的適應度，提高了整個群體的全局優化能力。但其計算復雜度較基本粒子群算法有明顯的增加，且必須具有一定的先驗知識才能確定小生境參數[11]，因而難以在實際中得到廣泛應用。

本文提出了基于拓撲環的小生境粒子群算法TRNLPSO（topology ring niche particle swarm optimization）來進行配電網的無功優化。該算法在局部粒子群算法的基礎上添加拓撲環，可以有效地控制粒子的收斂速度，更利于獲得全局最優解。該算法首先對所有粒子進行編號，構成一個拓撲環；然后在該拓撲環上，選取相鄰幾個粒子構成局部粒子群，通過控制信息使其僅在局部粒子群中進行傳播，不但可以實現對粒子收斂速度的有效控制，而且可以在局部進行更詳盡地搜索，從而更利于獲得全局最優解。相對于其他小生境粒子群算法，該算法僅在基本粒子群算法上引入拓撲環，其計算復雜度與基本粒子群算法相當，但該算法無需任何小生境參數即可自動形成小生境。最后以某配電網的有功網損作為優化目標，進行補償容量的確定，仿真結果證明了該方法的有效性。

1 無功規劃數學模型

電力系統中無功規劃的作用是降低全網的無功損耗，同時使得節點電壓保持穩定，從而達到減少費用和提高電網安全穩定運行系數的效果。

1.1 目標函數

本文選取系統有功網損（簡稱網損）和無功設備投資的綜合費用作為目標函數，通過調整變壓器電壓變比、調節發電機端電壓和投切補償電容器等控制變量達到減少費用的目的。其全網綜合費用的數學模型為

式中：Ploss為全網的有功網損；B為修正后的有功電價；Tmax為全網年最大負荷利用小時數；SB為基準功率；Y為補償設備使用年限；r為無功補償設備的數目；Ci為第i個補償點的補償設備經過修正后的單位容量的價格；Qc，i為第i個補償點的補償設備的容量，為控制變量。

考慮到實際計算中可能出現節點電壓越限及發電機無功出力越限的情況，現將這些狀態變量以罰函數即節點電壓越限的懲罰項費用和發電機無功出力越限的懲罰項費用的形式來表達。添加到綜合費用的數學模型中，得

式中：λV，j為節點電壓越限懲罰因子；λG，i為發電機無功出力越限懲罰因子；coV為越界負荷節點電壓下標的集合；coG為越界負荷發電機無功出力下標的集合；Vj，max、Vj，min分別為節點j的電壓上限和下限；QG，imax、QG，imin分別為發電機i無功出力的上限和下限。其中

由式（3）可見，懲罰項只有在狀態變量越限的時候才起作用。這樣可以有效防止不合理的情況發生，因此，比僅以綜合費用作為目標函數更合適。

1.2 等式約束方程

等式約束為

式中：Pi、Qi分別為節點i注入的有功、無功功率；Vi、Vj分別為節點i、j的電壓幅值；Bij為節點i、j之間的電納；N為與節點i直接相連的節點集合；Gij、δij分別為節點i、j之間的電導和電壓相角差。

1.3 不等式約束方程

不等式約束方程為

式中：VG，imax、VG，imin為發電機機端電壓的上下限；Tk，max、Tk，min為可調變壓器變比的上下限；QC，imax、QC，imin為節點i上補償容量的上下限；Vi，max、Vi，min為節點i電壓幅值的上下限。

2 基于拓撲環的小生境粒子群算法

2.1 粒子群算法

粒子群優化算法[12]PSO是近年來發展起來的最主要的群智能算法之一，起源于生物學家對鳥群捕食行為的研究。Kennedy和Eberhart于1995年提出了粒子群算法，該算法是模擬鳥群群體覓食和遷徙行為的一種群體智能演化算法，較之其他智能算法具有一些很好的特點，如采用分散式搜索，具有并行處理及魯棒性好的特點；具有記憶性，所需元件較少易于實現，并能以較大概率找到最優解。

針對具體問題，每個尋優問題的解都被想象成一只鳥，也即粒子群算法中的一個粒子。每個粒子包含一個速度矢量，以決定其飛行的方向和距離。所有的粒子都有與其對應的適應值，該適應值用來評判每個粒子的優劣。同時每個粒子都具有記憶性，能夠記住歷史中找到的最佳位置，即所求問題最優解。

為加快PSO的收斂速度，通常會在速度迭代公式中加入慣性因子對其進行修正，修正后的粒子速度和位移公式分別為

式中：ω為慣性因子；Xid為粒子位置；Vid為粒子速度；C1、C2均為加速系數；rand（）為[0，1]之間的隨機數；pBestid為個體最優，是當前找到每個粒子自身的最優值；gBestid為群體最優，是當前找到所有粒子的最優解。

通過式（6）、式（7）可以看出，粒子參考其個體最優及所有粒子的群體最優，對其速度和位置進行更新，使得粒子向個體最優及群體最優靠攏，以達到最優解。

2.2 基于拓撲環的小生境粒子群算法

在PSO中，粒子間相互作用起著關鍵的作用。在基本PSO中，所有粒子通過gBestid來進行信息的直接交流，實現最優信息的傳播。這種方式雖然使信息得到了共享，但信息傳播速度過快，當傳播速度大于所需傳播速度時，會導致陷入局部最優。

本文提出的基于拓撲環[13]的小生境算法是在局部PSO基礎上加上拓撲環。以一個8粒子種群為例，通過對每個粒子進行編號，可使得8粒子種群在邏輯上形成一個拓撲環，如圖1所示。在拓撲環中，每個粒子只與鄰近的2個粒子有直接的交流，而與其他粒子只存在間接交流的關系。這樣構成的拓撲環可以起到降低信息傳播速度的作用，從而避免了由于信息傳播速度過快而導致陷入局部最優。

圖1 8粒子種群Fig.1 Population of eight particles

粒子群算法中，每個粒子都會記錄自己所經歷的最優解，因此可將粒子群看成2個群體的總和。第1個群體為開拓群，由粒子群的各個粒子組成，在求解空間中不斷地更新迭代，變換十分頻繁；第2個群體為記憶群，由每個粒子的歷史最優解組成，相對于開拓群而言記憶群是相當穩定的，只有當當前粒子找到更優解的時候才會發生變化。

針對帶有拓撲環的8粒子種群，開拓群由標注為1～8的粒子組成，記憶群由標注為m1～m8的粒子組成，如圖2所示。每個粒子有3個消息提供者，其中2個來自臨近粒子的記憶，1個來自自己的歷史最優解。同樣的，每個粒子的記憶也有3個消息提供者，2個來自臨近粒子，1個來自粒子本身。

圖2 開拓群和記憶群相互作用Fig.2 Interaction between exploit population and memory population

由圖2可以看出，在向整個群體傳播信息之前，每個粒子都會在其局部領域進行更細致地搜索。小生境粒子群算法的具體實現公式為

式中：pBestn，i為領域內粒子的歷史最優解，即pBestn，i-1、pBestn，i和pBestn，i+1三者中的最優解。

拓撲環相鄰粒子的相互作用如圖3所示。拓撲環中的不同粒子可以擁有不同的pBestn，在這樣的情況下，粒子群在計算完畢后分散在不同峰值上。由此可見，拓撲環不僅提供了一種機制來減緩粒子群中信息傳播的速度，同時也允許不同鄰域最優的共存。隨著迭代的進行，粒子群中的粒子會向不同的區域聚集，自發地形成各個小生境。

圖3 拓撲環相鄰粒子的相互作用Fig.3 Interaction among adjacent particles in topology ring

圖4所示為一個多峰值的函數曲線。1個粒子的歷史最優解和鄰域最優有可能在1個波峰下，也有可能在不同的波峰下。

圖4 某多峰值函數的函數曲線Fig.4 Function curve of a multi-peak function

（1）當歷史最優解和領域最優在同一個波峰下時，粒子本身及粒子的歷史最優解很大可能向粒子的鄰域最優解靠攏，最終結果為

而粒子的速度vi將會減小，直至為0，粒子最終將會停止運動，粒子群形成了穩定的小生境，得到了鄰域最優解，進而得到全局最優解。

（2）當粒子的歷史最優和鄰域最優不在同一個波峰下時，粒子xi進入pBesti所在波峰的“間距”內會導致這個“間距”（圖4中2條虛線之間）變小，這樣pBesti跳到pBestn，i所在波峰的概率會更小。在多步迭代后，pBesti和pBestn，i將會區分開來，vi將不會降為0，導致粒子xi永遠振蕩。然而，pBesti形成的群體和pBestn，i形成的群體將會趨于平衡，從而達到穩定的狀態。pBestn，i形成的群體將會形成穩定的小生境，從而得到了全局最優解。

由上述討論可知，該算法能促使粒子分布在多模問題的不同峰值上形成穩定的小生境。因此，相對于普通PSO，其得到全局最優解的概率更大。

2.3 TRNLPSO算法流程

TRNLPSO算法求解電力系統無功優化問題的流程如圖5所示。

圖5 TRNLPSO算法流程Fig.5 Flow chart of TRNLPSO

3 系統算例

國內某配電網系統如圖6所示。該配電網有17個節點，其中節點1為發電機，（2，3）、（6，7）、（11，12）為變壓器支路。4個無功補償節點分別為節點2、3、7和節點11。設出線首端根節點的電壓為恒定值1.0 kV。PV節點和平衡節點的電壓上下限設置為1.1 kV及0.9 kV。PQ節點的電壓上下限設置為1.05 kV及0.95 kV。4個無功補償設備的上限分別為0.05、0.09、0.20、0.08，下限都為0，選取基準值為100 kvar。取系統的負荷水平，運行時間為3 600 h。選取SB=100MVA，系統運行時間以1 a計算，粒子群規模為20，最大迭代次數為600，C1與C2都為1.496 2，ω的初值取0.9。

圖6 某17節點系統Fig.6 System of 17-node

與運用PSO算法的系統相比較，運用TRNLPSO算法補償后系統各個節點的電壓水平有了明顯的改善，如表1所示。

表1 PSO和TRNLPSO補償后的各節點電壓Tab.1 Node voltages after the compensation of PSO and TRNLPSOkV

PSO與TRNLPSO在電容的補償容量上有著明顯的區別，通過節點電壓的對比可以看出，TRNLPSO在電容容量的取值上更具合理性。新增無功補償方案如表2所示。

表2 新增無功補償方案Tab.2 New reactive compensation program kvar

修正后系統的電價為600元/（MW·h），電容器的使用年限為10 a，電容器的價格為20 000元/Mvar。PSO與TRNLPSO補償后的網損及綜合費用如表3所示，由表3可以看出，經過TRNLPSO算法補償后的綜合費用和系統網損都明顯低于經PSO算法補償優化后的系統。

表3 不同算法優化結果比較Tab.3 Results of different algorithms

綜上所述，在系統中加入補償電容后，系統的節點電壓、網損及綜合費用都會有所改善。相對PSO算法而言，TPNLPSO算法優化效果更好。

4 結語

本文以系統的有功網損及投資設備的綜合費用為優化目標，將節點電壓越限和發電機無功出力越限采用罰函數的方式進行處理。對于已經建立的數學模型，本文采用基于拓撲環的小生境粒子群算法TRNLPSO進行補償電容容量的選取優化。該算法無需任何小生境參數的先驗知識，不但能夠有效地提高算法的收斂精度，而且具有低計算復雜度的優點。同時可形成穩定的小生境，提高了獲得最優解的概率。仿真實驗表明，經過TRNLPSO優化算法優化后，系統的電壓安全性得到了明顯的提高。

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