由一道數學題引發的思考

崔欣梅

筆者今年執教五年級數學。在教學體積，這一類型的題時引起了我的思考。在北師大版第十冊數學第49頁中有這樣一道題：“牙膏盒長15厘米，寬和高都是3厘米。現有一紙箱，內側的尺寸是長60厘米，寬和高都是30厘米，這個紙箱中最多能放多少盒牙膏？”（課本中有圖形）學生在學習了長方體的體積計算后對于這樣的題他們很自然就會想到：先算一個牙膏盒的體積，再算紙箱的體積，然后用紙箱的體積÷牙膏盒的體積。對于這道題學生這樣做當然是毋庸置疑的。教參中是這樣說的：可以引導學生先研究解決問題的思路，必要時，教師可以借助一些直觀物體幫助學生理解。通過分析，學生知道要先求出這個紙箱的體積和每個牙膏盒的體積，再用紙箱的體積除以每個牙膏盒的體積。教參中的講解和學生的理解是一樣的，而且這類題學生剛接觸，學生的這種做法是合情合理的，是非常正確的。

可是在配套的五年級下冊數學練習冊第40頁有這樣一道題：將一塊長8厘米，寬7厘米，高4厘米的長方體木塊截成體積最大的正方體，截出的正方體的體積是多少？可以截出幾個這樣的正方體？對于第一問學生沒有問題，看到第二問，學生自然想到課堂中學的方法：“大體積÷小體積”，他們是這樣做的：8×7×4=224（立方厘米）4×4×4=64（立方厘米）224÷64≈3（個）可是我們再聯系實際想一想：長方體的長是8厘米要截成長是4厘米的只能截2個，8÷4=2個，寬是7厘米要截成4厘米長的只能截一個7÷4=1（個）…3（厘米），高是4厘米，截后還是4厘米，所以這道題最后只能截成2×1×1=2（個）。很顯然兩種算法的答案不一樣，仔細想想，第一種算法是錯的，這道題只能按第二種方法做。

那么，遇到這樣的題到底該怎樣教呢？下面我引用兩個題進行說明。

例1.把一塊棱長為4分米的正方體大面包切成棱長為8厘米的正方體小面包，一共可以切多少塊？（北師大版五年級數學下冊課本第77頁第4題）

解法一：

1.換算單位：4分米=40厘米

2.計算大面包的體積：40×40×40=64000（立方厘米）

3.計算小面包的體積：8×8×8=512（立方厘米）

4.大面包的體積÷小面包的體積：64000÷512=125（塊）

解法二：

1.換算單位：4分米=40厘米

2.看長能切幾塊：40÷8=5（塊）

3.看寬能切幾塊：40÷8=5（塊）

4.看高能切幾塊：40÷8=5（塊）

（因為大面包是正方體，所以第2、3、4步可以合成一步，寫三步是為了更清楚地理清思路。）

5.5×5×5=125（塊）

對于這道題兩種方法都可以。

例2.一個長方體盒子長6厘米，寬4厘米，高3厘米，在里面放棱長為2厘米的小正方體，最多可以放幾個？（選自未央區2007～2008年期末試卷）

這道題如果用大體積÷小體積做出來是這樣的：

6×4×3=72（立方厘米）

2×2×2=8（立方厘米）

72÷8=9（個）

第二種6÷2=3（個）

4÷2=2（個）

3÷2=1（個）…1（厘米）

3×2×1=6（個）

對兩種方法進行思考后，毫無疑問第二種是正確的。

那么什么時候用第一種方法，什么時候用第二種方法呢？縱觀以上的分析，我認為：學生的第一印象往往是最深刻的，我們在教學這類題時第一次就應該給學生形成嚴謹的理解，可以給學生這樣講：“如果原來長方體的長，寬，高分別是要切成的長方體的長，寬，高的倍數，可以用大體積÷小體積；如果長，寬，高之間不存在倍數關系，則只能用第二種解法。”所以解決這種問題通用的方法是：長除以長，看長可以分成幾塊，寬除以寬，看寬可以分成幾塊，高除以高，看高可以分成幾塊，然后用長上分成的份數乘寬上分成的份數乘高上分成的份數。寫到這兒，我突然想起了一道這樣的題：“邊長為12厘米的正方形紙，可以剪成幾個邊長是2厘米的小正方形？”（北師大版三年級下冊第49頁）這種類型的題不是這樣思考更嚴謹嗎？

總之，我認為對于體積的教學，無論是大體積里面放小體積，還是把大體積分成小體積都應該聯系生活實際，在教學時把最嚴謹的思路教給學生，這樣做才是考慮學生的發展，才是在教學生用數學，而不僅僅是學數學。

（作者單位 西安市太元路學校）

編輯 薛直艷