微積分中關于極限概念的教學探究

陳 潔

（湖北工業大學理學院，湖北 武漢 430068）

微積分的基礎和研究工具是極限理論,而極限理論的核心是極限概念,許多數學概念,例如連續、導數、積分等,都是建立在極限概念的基礎上。搞好極限概念的教學不僅有利于整個微積分課程的學習,而且也關乎學生整個數學生涯的學習，但學生對極限概念的理解困難重重，因此，有必要研究極限概念的教學方法。

1 以生動有趣的例子引入極限的概念

著名的數學家、數學教育家趙訪熊(1908-1996)教授指出“在教學中注重實效,反對照本宣科,應該經常用一些形象化、生動有趣的例子來講解數學的基本概念”。 例如“國徽極限"的故事，“天安門上有個國徽,國徽里還有個小天安門,小天安門上還有個小國徽……,我們可以想象空間中存在一個點,在這個點周圍有無窮多個天安門和無窮多個國徽。這個點就是天安門和國徽無窮系列的極限。這里講的就是極限概念。

還有，著名的劉徽“割圓術”的例子。公元263年，中國數學家劉徽在《九章算術注》中提出“割園”之說。所謂“割圓術”，在圓內作內接正六邊形，每邊邊長均等于半徑；再作正十二邊形，從勾股定理出發，求得正十二邊形的邊長，如此類推，從內接n邊形的邊長可推知內接2n邊形的邊長。從圓內接正n邊形每邊邊長，可求得內接2n邊形的面積。這樣，即使邊數極多的內接正多邊形面積也可以一步步求解。根據極限觀念，劉徽指出：隨著圓內接正多邊形邊數的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。 通過這些例子的講解，可以引起學生的興趣,開闊學生思維的廣闊性和靈活性，激發他們學習微積分的熱情。

2 引導學生知道微積分中極限思想的重要性

極限思想的運用是區別初等數學與高等數學的重要特征，把初等數學中對常量的研究，通過極限思想轉變成微積分中變量的分析研究過程，同時伴隨著由有限到無限觀念的轉變。極限也是貫穿微積分的重要知識點，可謂是沒有極限思想就沒有微積分。

極限概念是微積分最基本的概念,微積分中大量的其他基本概念都是用極限概念來表達的,例如連續、導數、定積分、級數、重積分概念、曲線積分概念及曲面積分概念等等。 因此，極限是研究無限的有力工具。例如在定積分的概念中，先通過無限可分,將有限的轉化為無限的,再利用極限來研究,也就達到了利用極限來研究有限的目的由于極限概念是微積分的主要概念,極限理論是微積分的主要理論,極限是微積分的主要工具。因此，學生學好搞好極限概念，不僅能使學生學到必要的數學基本知識和技能,而且能為學生進行后期的專業課學習打好基礎，增強學生的學習積極性。

3 幫助學生理解極限的概念

首先，直觀地給出極限的描述性定義。即“如果當數列 ｛xn｝的項數n無限地增大時,無限地接近常數a,則稱a是該數列的極限,記作在這里，數列 ｛x｝無限地接n

極限概念的重要性不言而喻。但學生難以很快地掌握極限,極限概念的不理解,容易造成了學生對于極限存在及可導、還續等概念關系的混淆。所以極限概念的教學更應該注重學生領悟的過程,而不能操之過急。近常數a，可以理解為“xn與常數a的距離 xn-a 無限的減小”。因此，xn-a 就定量地刻畫了xn與a的接近程度。 xn-a 的值越小，則表示xn與常數a的接近程度越高。而 xn-a 無限的減小，就可以認為xn-a 可以任意的小，要多小有多小。即任意跟定多么小的正數ε，當n無限增大時，xn-a 可以小于給定的正數ε。

在這里，可以用正整數N來刻畫n無限增大時，也就是說 xn-a＜ε，的條件是n要無限地增大。即無論任意給定的多么小的正數，總能找到一項N，使得從N+1項起，所有的項都滿足 xn-a ＜ε。從而，可以給出極限的嚴格定義“對任意給定的正數，總存在正整數N，當n＞N時，恒有 xn-a ＜ε成立，則稱a是該數列的極限,記作xn=a”

最后，極限概念是一個相當難度的概念,極限概念的學習應該是一個長期的過程,對極限概念的理解不是一蹴而就的,需要學生在長期的學習屮慢慢感悟。

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