有趣的離散數學

王新心

（東北大學秦皇島分校數學與統計學院，河北 秦皇島066004）

離散數學課程與傳統的大學數學課程（如高等數學）有很大的區別，高等數學研究的一般是自變量在區間上連續變化的函數，而離散數學是研究離散變量及其相互關系的學科，如自然數、真假值等等。這門課程是隨著計算機的發展而產生的 （機器語言只有0、1兩個離散值），因此開設這門課程的專業都是與計算機關系密切的專業，如信息與計算科學、計算機科學與技術、信息管理、電子商務、物聯網等。

眾所周知，高等數學有大家公認的經典和傳統的教材，即使版本不同，內容也大同小異，而離散數學一般是學校根據自己專業的培養目標和方向自行定制教材，內容的側重點也不盡相同，但無論哪一種教材，都會包括四部分內容：數理邏輯、集合論、代數系統和圖論，這其實是數學專業需要分開學習的四門課程，相對比較枯燥，離散數學教材將這些放在一起，每一部分都介紹了與計算機技術相關的內容，不像數學專業學的深入，但涉及的面很廣，對學生而言非常困難。和高等數學比較，由于學生從中學開始就接觸函數，因此高等數學課程的入門相對容易，課程前后的內容聯系緊密，開始學習時學生感覺不會太困難。但離散數學不同，學生以前基本沒有接觸過相關的知識，并且內容前后之間又沒有必然的聯系（充分體現了離散性），學習后面的經常忘記前面的，這就給學生的學習制造了很多的麻煩，他們普遍認為離散數學不好學，甚至有個別學生最后只能放棄。俗話說，興趣是最好的老師，鑒于以上這些原因，本文根據這四部分內容，談談如何在課堂教學中提高學生的學習興趣。

1 數理邏輯之趣

邏輯學簡單地講，就是研究推理的學科，數理邏輯也不例外，它是運用一套符號體系加上一些規則，研究我們生活中的一切與推理有關的問題，這不就讓課堂生動起來了嗎？比如生活中有這樣的敘述：“情況并非如此，如果他不來，那么我也不去。”這句話如果說給外國人聽，他們一定會覺得云山霧罩的，即便是中國人自己，能夠理解清楚也不是很容易吧，到底是他來或不來，我去還是不去呢？現在我們用數理邏輯的理論去研究，看看到底說的什么意思？設P表示“他來”，Q表示“我去”，這句話翻譯成邏輯語言是：┐（┐P→┐Q），利用推理規則得到與之等價的命題┐P∧Q，再將其還原回生活語言就是“他沒來，但我去了”，如此之簡單，學生恍然大悟，馬上會興趣倍增的。再有，課堂上如果讓學生分析下面這段程序，結果會怎樣呢？“If A then if B then X else Y else if B then X else Y”，就是對計算機專業的學生而言，理解程序的條件和結論也不容易吧，但程序肯定是正確的，計算機也是可以執行的，現在讓我們用數理邏輯理論化簡一下吧。執行X的條件：（A∧B）∨（┐A∧B），化簡后等價于 B；執行 Y 的條件：（A∧┐B）∨（┐A∧┐B），化簡后等價于┐B，結果出乎人們的意料，A在程序中根本沒起作用，純屬搗亂而已，此程序實際可以簡化為：“If B then X else Y”。如此好玩的問題，與日常生活和學生的專業又有密切的聯系，我們可以想象一下，學生學習起來會多么高興，又怎么會在課堂上睡覺呢？

2 集合關系之趣

在生活中，存在著各式各樣的關系，如父子關系、夫妻關系、朋友關系、上下級關系等等，這些關系看起來各不相同，但很多關系卻可以用數學思想抽象出它們共同的性質。離散數學集合論部分涉及到的就是研究各種各樣的關系，如等價關系、序關系等等，研究這些關系，也是非常有趣的事情。比如利用“同姓”關系，可以將人群分類：{張}、{王}、{李}、{歐陽}、{諸葛}……等等，如果要研究同一姓氏的人有什么共同特征時，可以分別從不同的姓氏集合中，任取一個人進行研究，這個人可以作為每一類姓氏人群的代表，他有的特征和他同類的人都有；再比如平常說的“家族”關系，可以理解為集合中的復合關系，如果R 是“父子”關系，S是“兄弟”關系，那么 R○R 表示“祖孫”關系、S○R表示“伯侄”關系等等，只要將條件設計好，紅樓夢中的林黛玉和王熙鳳之間的關系也可以用數學語言表示出來。事實上，生活中的所有關系都是可以用數學符號描繪出來的，這方面可以引導學生自己去探索，以便提高他們的學習興趣。

3 代數系統之趣

代數系統是離散數學中最抽象的一部分，它在數學學科中屬于抽象代數的內容，怎樣用生活中有趣的例子解釋、描述抽象的概念，是課堂教學需要認真研究的問題之一。事實上，在集合中定義運算，是構成代數系統的關鍵，而運算就是函數，比如一臺自動售貨機，它接受人民幣，吐出各種商品，“兩個一元對應一瓶橙汁，一個一元和一個二元對應一瓶可樂，兩個二元對應一個冰淇淋”等等，這就是運算，如果再對運算要求具有封閉性，就構成了代數系統。再如定義代數系統的幺元和零元時，可以用“洗衣”的例子說明，用洗衣機洗衣服時，淺色和淺色混洗后，衣服還是淺色；淺色和深色混洗后，衣服變成了深色；深色和深色混洗后，衣服還是深色，可以令S={淺色，深色}，“*”代表“洗衣”這種運算，那么對于代數系統＜S，*＞而言，“淺色”是系統的幺元；、“深色”是系統的零元，讓學生想象淺色和深色的特征，就可以充分理解幺元和零元的概念了。還有，群的概念在代數系統中非常典型和重要，不了解群就等于沒有學過代數系統，那么群到底有什么，換句話說，我們熟悉的什么樣的事物可以是群呢？從群的概念考慮，群中對所定義的運算要有幺元，每一個元素還要有逆元，假設定義的運算是“加法”，幺元一定是0，那么每個元素的逆元應該是其相反數，也就是說，它的相反數也必須是集合中的元素，故集合必須是關于0對稱的 （對加法運算），由此得到，整數集合上定義加法運算構成群；實數集合上定義加法運算也構成群；但非負有理數上定義加法運算就不會構成群了，一句話，構成群的集合一定是對稱的（關于運算），這時可以提問：如果換成乘法運算，什么樣的集合對乘法運算構成群呢？這樣的分析一環扣一環，讓學生跟著教師的思路去思考，既有趣又有成就感，而且又將概念講解的非常到位，學生怎么會不喜歡這樣的課堂呢？

4 圖論之趣

位于波羅的海海岸的美麗小城——格尼斯堡，在圖論的起源和發展中占有絕對重要的地位，由著名的“格尼斯堡七橋”問題，數學家歐拉創立了一個重要的數學分支——圖論。“格尼斯堡七橋”問題實際是一個“一筆畫”問題，應用歐拉的理論，對任何一個圖形，都可以很快知道它是否可以一筆畫出，這是一件多么了不起的工作啊！圖論幫我們解決了很多現實問題，如環游世界問題、匹配問題、最優化問題等等，尤其是“樹”的概念的引進，在日常生活和計算機理論中，應用相當的廣泛。比如百姓的“家譜”就是一棵“根樹”，樹根是“祖宗”，平行邊是“兄弟”，上下相鄰的兩個頂點分別表示“父親”和“兒子”，看到一顆“家譜樹”，馬上就清楚了誰是誰的“祖先”，誰又是誰的“后裔”，一目了然。再如 “購買接線板的問題”，寢室有28盞電燈，要共用一個電源插座，需要購買多少個具有四孔的接線板？這是圖論中“完全四叉樹求分支點”的問題，讓學生帶著問題去思考，自己解決，既生動又實用，何樂而不為呢？

興趣是最好的老師，不論一門課程多么抽象、復雜，首先要求教師深刻地理解課程內容，要用通俗易懂的語言講授給學生，同時要調動學生學習的積極性，讓學生有“我要學”的沖動，那么這門課就一定可以學好。

［1］左孝凌,等.離散數學[M].上海：上海科技文獻出版社,1982.

［2］王新心.王翠榮,主編.離散數學[M].沈陽：東北大學出版社,2011.