1維光子晶體中兩種偏振光的場分布

蔣和倫，劉啟能

（重慶工商大學計算機科學與信息工程學院，重慶400067）

1維光子晶體中兩種偏振光的場分布

蔣和倫，劉啟能

（重慶工商大學計算機科學與信息工程學院，重慶400067）

為了研究1維光子晶體中光強的分布，采用特征矩陣法推導出TM波在1維光子晶體中光強的分布公式，進行了TM波和TE波在1維光子晶體中光強分布的理論分析。結果表明，在禁帶范圍內，隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加，其光強迅速衰減；在導帶范圍內，隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加，其光強不會衰減。這一結果對1維光子晶體中TM波和TE波的禁帶和導帶的形成的認識是有幫助的。

光電子學；光子晶體；偏振光；光強；位相差

引 言

光子晶體的概念自JOHN和YABLONOVITCH于1987年提出來后，由于利用光子晶體的帶隙可以十分方便地控制光波的傳播，對光子晶體的研究很快成為光學的前沿領域內一個活躍的課題。在光子晶體的研究中由于1維光子晶體的結構最簡單、研究最方便，但它卻具有其它高維光子晶體的基本屬性。因此，對1維光子晶體的研究成為光子晶體研究領域內的重要內容。

1 公式推導

首先推導光通過厚度為a、折射率為n的介質層的位相差δa。當平面波通過厚度為a、折射率為n的介質層時，其位相差由通過觀察點A1和A2的等相面間的距離決定，如圖1所示［14］。設通過觀察點A1的等相面為∑1（虛線），通過觀察點A2的等相面為∑2（虛線）。由圖1可知，∑1和∑2間的光程差為nacosθ，∑1和∑2間的位相差δa為：

除了在理論上研究平面波通過介質層的位相差是以通過上下表面法線上的兩點A1和A2作為觀察點外，實際的光信號檢測中也是以通過上下表面法線上的兩點A1和A2作為觀察點即檢測點，這樣才不會使檢測點A2隨入射角的變化而改變。而按參考文獻［13］中觀點會使檢測點隨入射角的變化而改變，如果同時有多個入射角不同的光入射就需要多個不同的檢測點，這顯然是不可行的。

下面推導TM波在1維光子晶體中的光場分布公式，如圖2所示。

設TM波在入射空間磁矢量為H0（它包含入射磁矢量H0i和反射磁矢量H0r）、電矢量的切向分量為E0∥（它包含入射電矢量E0i和反射電矢量E0r），TM波通過1維光子晶體中任意一層Δzm后的磁矢量為H、電矢量的切向分量為E∥。根據特征矩陣的關系有：

式中，Mi為TM波通過第i層介質中的特征矩陣，M為TM波通過前m層介質中的特征矩陣。由（2）式得：

展開（3）式有：

式中，r是該1維光子晶體對TM波的反射系數，n為折射率，n0為真空折射率，μ0為介電常數，ε0為磁導率。

由圖2可知：

由（7）式得出TM波在1維光子晶體中任意一層Δzm后的光強分布公式：

對于TE波的光場公式，參考文獻［13］中的推導是正確的，只不過要將特征矩陣中的位相差換為δa=nacosθ就可以了。這里直接給出：

（9）式中的r是該1維光子晶體對TE波的反射系數，M為TE波通過前m層介質中的特征矩陣。利用（8）式和（9）式就可以研究1維光子晶體中兩種偏振光的光強分布規律了。

2 光強分布

設1維光子晶體的A層介質為Si，B層介質為Al2O3，A和B的折射率分別n1=3.42和n2= 1.766，周期數N=8，光學厚度n1d1=n2d2=λ0/4。中心波長λ0=679nm，對應的中心圓頻率ω0=2πc/ λ0，c為真空中光速。由特征矩陣法計算出TE波和TM波以入射角θ0=15°入射該1維光子晶體時，其反射率R隨圓頻率的響應曲線，如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可知，在圓頻率ω分別為ω0，3ω0附近出現了TE波和TM波的禁帶，在圓頻率ω為2ω0，4ω0附近出現了TE波和TM波的導帶。下面將研究禁帶和導帶內TE波和TM波的光強在1維光子晶體中的。

2.1 TE波的光強分布

取入射角θ0=15°，由（9）式計算出TE波在ω分別為ω0，2ω0，3ω0和4ω0這4種情況下光強在該1維光子晶體中隨周期的分布曲線，如圖5、圖6、圖7和圖8所示。其中圖5和圖7是禁帶內TE波的光強分布情況，圖6和圖8是導帶內TE波的光強分布情況。由圖5、圖6、圖7和圖8可得TE波的光強分布規律。

2.1.1 禁帶內光強的分布特征 當ω=ω0時，光強在每個周期內都出現了1個峰，第一周期內的峰值為0.32，第二周期內的峰值迅速降為0.08，第五周期內的峰值已經降為0，第五周期以后的各個周期內光強的分布恒為0。當ω=3ω0時，光強在每個周期內都出現了3個峰，第一周期內的3個峰值均為0.32，第二周期內的3個峰值迅速降為0.08，第五周期內的3個峰已經降為0，第五周期以后的各個周期內光強的分布也恒為0。正是由于光強在1維光子晶體內迅速衰減，使TE波不能通過光子晶體，從而形成光子的禁帶。

2.1.2 導帶內光強的分布特征 當ω=2ω0時，光強在每個周期內出現了兩個峰，第一周期內的兩個峰值均為0.84，第二周期內的兩個峰值增加為0.87，之后隨著周期的增加兩個峰值逐漸增加，在第八周期內峰值增加為0.93。當ω=4ω0時，光強在一個周期內出現了4個峰值，第一周期內的4個峰值均為0.6，第二周期內的4個峰值增加為0.65，之后隨著周期的增加4個峰值也逐漸增加，在第八周期內峰值增加為0.85。正是由于光強在1維光子晶體內逐漸增加使TE波能順利通過光子晶體，從而形成光子的導帶。

2.2 TM波的光強分布

取入射角θ0=15°，由（8）式計算出TM波在ω分別為ω0，2ω0，3ω0和4ω0這4種情況下光強在該1維光子晶體中隨周期的分布曲線，如圖9、圖10、圖11和圖12所示。其中圖9和圖11是禁帶內TM波的光強分布情況，圖10和圖12是導帶內TM波的光強分布情況。由圖9、圖10、圖11和圖12可得TM波的光強分布規律。

2.2.1 禁帶內光強的分布特征 當ω=ω0時，光強在每個周期內都出現了一個凹谷，周期的邊界處出現極大值。第一周期內的極大值為0.34，第二周期內的極大值迅速降為0.09，第五周期內的極大值已經降為0，第五周期以后的各個周期內光強的分布恒為0。當ω=3ω0時，光強在每個周期內都出現了3個凹谷，周期的邊界處出現極大值。第一周期內的極大值為0.34，第二周期內的極大值迅速降為0.09，第五周期內的極大值已經降為0，第五周期以后的各個周期內光強的分布恒為0。正是由于光強在1維光子晶體內迅速衰減，使TM波不能通過光子晶體，從而形成光子的禁帶。禁帶內TM波的光強分布與TE波的光強分布也存在一些區別，TM波在周期的邊界處光強分布是不連續的，而TE波在周期的邊界處光強分布是連續的。

2.2.2 導帶內光強的分布特征 當ω=2ω0時，光強在每個周期內出現兩個峰，第一周期內的2個峰值均為0.83，第二周期內的2個峰值增加為0.85，之后隨著周期的增加2個峰值逐漸增加，在第八周期內的峰值增加為0.9。當ω=4ω0時，光強在每個周期內出現了4個峰，第一周期內4個峰值均為0.6，第二周期內的4個峰值增加為0.64，之后隨著周期的增加4個峰值也逐漸增加，在第八周期內的峰值增加為0.72。正是由于光強在1維光子晶體內逐漸增加使TM波能順利通過光子晶體，從而形成光子的導帶。導帶內TM波的光強分布與TE波的光強分布也存在一些區別，TM波的光強在周期的邊界處出現極小值，而TE波的光強在周期的邊界處出現極大值。

3 結 論

利用平面波在介質層中傳播的等相面的關系，推導光通過厚度為a、折射率為n的介質層其位相差δa=nacosθ，糾正了參考文獻［13］中的瑕疵。并利用TM波在界面切向分量連續的條件，推導出TM波在1維光子晶體中光強的分布公式。利用這些公式研究了TM波和TE波在1維光子晶體中光強的分布規律。得出了在禁帶范圍內隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加其光強迅速衰減的特征，在導帶范圍內隨著TM波和TE波在1維光子晶體中傳播深度的增加其光強不會衰減的特征。TM波和TE波在1維光子晶體中光強的分布規律的獲得，使對1維光子晶體中TM波和TE波的禁帶和導帶的形成有了更深刻的認識。

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Field distribution of two kinds of polarized light in 1-D photonic crystal

JIANG Helun，LIU Qineng
（College of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to study the field distribution of 1-D photonic crystal，the formula of the light intensity distribution of TM wave in 1-D photonic crystal was deduced based on the characteristic matrix and the intensity of TM wave and TE wave in 1-D photonic crystal was analyzed.The results show that the light intensity of TM wave and TE wave decreases with the increase of propagation depth in forbidden band of 1-D photonic crystal.The light intensity of TM wave and TE wave does not decrease with the increase of propagation depth in conductive band of 1-D photonic crystal.The study is helpful for the understanding of forbidden band and conductive band in TM wave and TE wave.

optoelectronics；photonic crystal；polarized light；light intensity；phase difference

O436.3

A

10.7510/jgjs.issn.1001-3806.2014.05.030

1001-3806（2014）05-0718-05

重慶市教委科技項目基金資助項目（KJ130713）

蔣和倫（1965-），男，副教授，從事光電子學方面的研究。

E-mail：jianghelun@sina.com

2013-08-30；

2013-10-30