在數學教學中培養學生審美能力

●趙春祥

《高中數學課程課標》指出：“體會數學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”[1]。數學也是一種美學，數學所揭示的規律，深刻地表現了客觀世界在數量與形式上的美。數學有自然科學皇后的美稱，不僅具有抽象性、邏輯性，也具有豐富的美學內容。英國著名哲學家、數理邏輯學家羅素認為“數學，如果正確地看待它，不僅擁有真理，而且也具有至高的美”。因此，在數學教學中，深入挖掘并藝術地表現出數學美的特征，不僅可以培養學生正確的審美觀和鑒賞美、創造美的能力，而且還可以激發學生學習數學的興趣和深層次探求知識的欲望。

一、借助定律，挖掘數學形式美

在課堂教學中，運用美的形式感染誘發學生，就可以擺脫枯燥乏味的講授。根據課堂教學內容，聯系現實生活中學生熟悉的實際問題，運用大量生動的感性材料進行解說，以數學美的魅力撥動學生的心弦，使學生心里引起聯想和想象來加入并促進理解學習內容，更迅速地掌握學習內容。

如黃金分割律0.618，這個美學數字無處不在。神學家阿奎那曾說過：“愉快的感覺來自恰當的比例”，這個比例就是黃金分割比。人的身體各部分之間的比例，不管是人體結構的整體，還是人體的局部，到處可以尋覓到黃金分割律的比值0.618。眼睛、耳朵、鼻子的寬與長之比是0.618；人的肚臍以上與肚臍以下的比值也是0.618。

再如寬長比為黃金比的矩形稱之為 “黃金矩形”，在這個黃金矩形中分出一個正方形，位于左邊，右邊剩下的仍是一個小的黃金矩形。在這個黃金矩形中再分出一個正方形，位于上邊，下邊剩下的是一個更小的黃金矩形。一直繼續下去，就會得到一個“黃金矩形套”，里面有無數多個黃金矩形。我們用一條光滑的連續曲線把所有正方形的頂點連接起來，得到的就是對數螺線或等角螺線[2]。海螺、蝸牛的外形就非常近似于對數螺線。黃金矩形被美術界公認為“地球上最具有調和性而美麗的矩形”，其圖案常常現身于藝術中詮釋美，古希臘的帕德嫩神廟就含有黃金矩形。在舉世聞名的巴黎埃菲爾鐵塔和維納斯塑像中都能找到這種比例數字。可見人類對自然的審美是物質性的。出于對人類身處的世界的適應，審美絕非主觀先驗的東西，正如“源于生活，高于生活”一語所闡釋。設計應該是對自然的高級模仿——而這種模仿必須是認知清楚基礎之上的主觀能動的行為。

二、聯系實際，展現數學自然美

數學美的另一體現是它可以客觀地反映自然美，大自然中的美都與數學有著千絲萬縷的聯系，細心觀察日常生活和藝術活動，就會發現隨處可見數學的自然美。在課堂教學中，如果把數學美和大自然結合起來就能使學生更好地感知和理解數學的魅力，從而在教學中形成主動活潑的學習氣氛，在美的熏陶中充分發揮學生在數學方面的創造性潛能，加深對知識的記憶。

如花兒的美麗除了與繽紛燦爛的顏色有關外，還與花朵的排列和花瓣數目有關。數學中的菲波那契數列就巧妙地解釋了它。菲波那契數列的通項公式為Fn=Fn-1+Fn-2(Fn1=F2=1，n為大于2的自然數)，這個數列是由十三世紀文藝復興時期著名的意大利數學家菲波那契在他所著的《算盤全集》中提出的。經研究，自然界中的許多花瓣數目都符合該數列。在大多數情況下，一朵花的花瓣數目都是 3、5、8、13、21、34、55……數學方程與曲線和花兒有機地結合，給數學美增添了新的內容。x3+y3=3axy在現代數學中稱之為“笛卡兒葉線”，曾被著名數學家笛卡兒取名為“茉莉花瓣”，這一方程代表的曲線可以表示某花的外部輪廓。科學家對植物葉子和花朵的圖案也作了研究，發現輻射對稱的花和螺旋排列的果，它們在數學中符合黃金分割的規律。蜜蜂的蜂房是自然的對稱形式，這種建筑輕巧堅固，美觀實用，是一個典型的完全滿足數學規律的美學建筑。英國數學家馬克勞林經過研究證實，這些蜂房的六角形窩洞的六個角，都有一致的規律，鈍角等于109°28′，銳角等于 70°32′，并且還能以單薄的結構獲得最大的強度。這種巧妙對稱的協調，正是體現數學當中的自然結構美。

三、挖掘內涵，探索數學對稱美

從古希臘起，對稱性就被認為是數學美的一個基本內容。畢達哥拉斯說：“一切立體圖形中最美的是球體，一切平面圖形中最美的是圓形。”因為，這兩種形體在各個方向上都是對稱的。所以，對稱是一種平衡狀態，是美的形式。

對稱美是指組成某一事物或對象的兩個部分的對等性。數學對稱美表現為下列三種形式：第一，數和式的對稱美。數學的對稱的源頭來自于代數中多項式方程的解，代數中對稱的現象有很多，像二項式定理，楊輝三角，函數具有奇偶性的必要非充分條件是函數的定義域關于原點對稱等。第二，圖形的對稱美。如等腰三角形、等腰梯形、矩形等軸對稱或中心對稱圖形等。圓是軸對稱圖形，有無數多條對稱軸，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；圓又是中心對稱圖形，繞對稱中心(圓心)旋轉任意角度都能自相重合，其形狀可謂是增之顯多，減之顯少。這種完美的“全方位”對稱性在平面中僅圓具有。正弦函數y=sinx的圖像夾在平行線之間呈美麗的“波浪”形且關于對稱軸對稱，其對稱中心分別是點（kπ，0）（k∈Z）。 第三，數學思想和方法的對稱美。如分析法與綜合法，直接法與反證法，邏輯思維與逆向思維，動靜結合互相轉化的思維，或然與必然的思想方法等。

在數學中，對稱的概念、對稱的運算、對稱的圖形、對稱的公式、定理等等，對稱現象不勝枚舉。對稱給人以均衡、完美、穩重、簡單、和諧、勻稱的美的享受，更重要的是一種思想方法的啟迪。如建立適當的坐標系，可使運算過程簡化，所得的方程簡捷。在數學教學中，引導學生運用數式、方程、幾何圖形所具有的對稱性解題，思路靈巧、解法簡捷，使學生體會到數學解題美的感染力，從而增強了學生分析問題，解決問題的能力。因此，數學對稱美能起到優化解題思路和簡化解題過程的功效。通過探求對稱美、利用對稱美、掌握對稱美的規律，達到認識數學解題的規律。

四、綜合提煉，追求數學統一美

統一性是指在不同的數學對象或同一對象的不同組成部分之間所存在的內在聯系或共同規律。德國大數學家希爾伯特指出“數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命正是在于各個部分之間的聯系，數學的有機的統一，是這門科學固有的特點”。數學的基本結構構成為數學美的基本源泉，即數學美充分地表現在數學結構的統一性。在數學中，統一的表現方法是多樣的，一個定論，一個算式等往往涵蓋了諸多結論，使得不同形式的問題歸結到了統一形式。例如，平面幾何中的相交弦定理、切割線定理、切線長定理都可以統一于圓冪定理。又如棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺等形狀各異，但他們的體積公式都能統一到同一公式中。

數學中的統一如同客觀世界的統一，是多樣的統一，于理論與方法均如此。以“距離”概念而論，中學學過：兩點間的距離、點到直線的距離、點到平面的距離、兩平行線之間、兩平行平面之間、直線與平行平面之間的距離等概念。諸多的“距離”可統一為：設A是一個非空集合，對任意x、y∈A，按照一定法則對應一個實數P(x，y)，它滿足非負性、對稱性、三角形不等式等條件，則稱P(x，y)為x、y的距離，而A是以P為距離的距離空間。這樣的統一，抓住了多樣事物的本質與規律，提升到新的高度，并展開了對更多數學對象的研究，例如，可以在[a，b]上連續函數f(t)組成的集合 c∈[a，b]，定義“距離”構成距離空間，等等。這像一首和諧的樂曲又展開了新的樂章。

數學的統一美，美在揭示了數學的普遍聯系上，美在數學對客觀世界和諧協調、井然有序的真實反映上，盡管內容絢麗多姿，卻能互相轉化、結合。中學數學中的互補概念、互否命題或互為補集思想都是對立的統一；幾何、代數、三角間相互轉化，都可以表明各種數學思想與形式是和諧統一的。在數學教學中，教師如能從形式多樣的解題方法中指出統一的解題思想，對某些類型的題目，作進一步的概括綜合和挖掘提煉，或從整體上把握內容，可使初學者更好地發現美的所在。教師如能努力挖掘教材中的潛在因素，充分展示數學美的統一性特征，有利于學生形成良好的知識結構，在頭腦中建立“知識鏈”，形成知識網絡，提高思維的概括性以及綜合運用的能力。

五、多方審視，揭示數學和諧美

數學的和諧美一是體現在形式的簡單性。如，數學語言是簡單統一的符號語言；數學的出發點是簡單、明晰的；數學問題的解決是化繁為簡的過程。所以，簡單性是數學美的特征，也是數學所要求的，從雜亂無章的自然現象中抽象出數學概念，再用簡單的數學形式表示，然后反過來又解釋更多現象，這正是我們數學的威力美的體現。二是體現在數學比例與優美的曲線或圖形的形式美。比如直角三角形斜邊的平方等于其兩直角邊的平方和a2+b2=c2；再如圓周長公式C=2πr這個初等數學公式，揭示了圓周長和半徑之間的一種簡潔、奇妙、和諧的比例美。三是體現在理論體系內部的嚴謹。數學體系是把自然規律抽象成一些概念、公式或定理，并通過簡潔的推理證明出各種令人驚嘆的公式和定理，充分表現了其內在的和諧性，從中感受到一種崇高、博大、妙不可言的和諧美。例如，從等式ab=N出發，①已知a、b求N這要用到乘方運算；②已知b、N求a用到開方運算；③由和諧美原則，已知b、N求b用到一種新的運算即對數運算。只有這三種運算融為一體，才能完美地揭示ab=N中的運算關系，若沒有對數運算的引入，這似乎是一個殘缺的“月亮”，就為求指數運算帶來了困難。

數學中的和諧美貫穿于全部數學體系之中。課堂上習題教學如果全方位多角度審視分析，通過尋求數、式、形之間內部和外部的和諧美，猜想條件和結論間的和諧美，使學生覺得數學包含著無窮無盡的趣味和千變萬化的風采，和諧的審美原則還能幫助學生制定解題策略和指明解題方向。數學美的和諧性特征，讓學生對前后知識進行比較，理解它們的內在聯系，從而形成知識的有序結構和解題的方法體系，這樣可以減輕他們的學習負擔。

六、出奇制勝，感受數學奇異美

在數學中出現一種新而不平常的關系結構，能在人們的想象中誘發一種樂趣，在人們心靈深處產生出一種愉悅的驚奇，這就是數學的奇異美。數學的發展就象精彩故事一樣的波瀾壯闊，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉，既在情理之中，又在意料之外，是和諧與奇異的統一體。

奇異美顯示出客觀世界的多樣性，是數學思想的獨創性和數學方法新穎性的具體體現。奇異，包含著多方面的含義，一是新穎、富有創造性，具有獨特之處；二是新奇、出乎常識和預料，使人贊嘆、驚愕。奇異美即在于求“新”、求“異”。這恰好符合人類在科學中不斷探索、不斷前進的精神。在數學的發展過程中，不斷出現統一各部分的新理論，同時又不斷出現無法包括在這個理論之中的奇異的對象。這些奇異的對象又反過來促進數學的發展。歷史上，哥德巴赫猜想，地圖著色的五色問題，都引起了無數數學家的無限興趣。從有理數發展到無理數，從實際中一維、二維、三維空間，到抽象的n維空間的建立，從有限的觀念，到無限的觀念的認可，每一次認識上的深化，都導致了數學理論的重大進展。可以說，數學的歷史，就是一部不斷探索的歷史，就是一部不斷產生奇異性，又不斷解決奇異性的歷史。在數學中，許多奇異對象的出現，一方面打破了舊的統一，另一方面又為在更高層次上建立新的統一奠定了基礎。

數學中出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現出奇異的美，閃耀著智慧的光芒。某些數學問題若能抓住其“個性”，不但能獲得令人驚嘆不已的解法，還從中感受到數學的奇異美，感受到創造的喜悅和成功的樂趣，從而令人陶醉神往。這種奇異美可以激發學生的創新欲望，培養創新精神，改變學生在認知上的局限性，增強了學生對真理的追求。

在數學教學活動中，通過數字美、符號美、構圖美，培養了學生審美感受力、理解力、想象力、鑒賞力。使學生感受到了數學知識的內在美，增強了他們對數學知識的喜愛，并通過“內化”逐步遷移為對數學知識的強烈追求，從而激發學生對數學學習的興趣。因此，通過正確地引導學生審視數學美、挖掘數學美、創造數學美、追求數學美，帶領學生進入數學美的王國，陶冶精神情操，讓學生在美的熏陶中心靈受到開啟，精神得到升華，感情產生共鳴，知識得到豐富，使整個課堂教學形象化，提高學習效率。

[1]黃偉．讓“美”在數學課堂上流淌[J]．數學教學通訊：教師版，2011：10.

[2]張國棣．兩類黃金橢圓美的比較[J]．中學數學教學參考：上半月，2008：10.