代換法在高中數學解題中的靈活應用

邱進凌

（南陽理工學院，河南 南陽 473000）

代換法就是利用靈活多變的方式，簡化復雜難題的典型性解題方法，被廣泛應用于高數解題中。

1 代換法概括

代換法是一種數學解題思路，在數學解題過程中有很多比較復雜的或者存在兩個及兩個以上未知條件的數學題，解題時根據知識間的內在聯系，適時的轉化題目中的數量關系，通過各個變量間條件轉換，把一種問題轉化為了另一種問題，從而簡化整個解題過程。代換法的方法有很多，比如函數代換、等量以及不等量代換、變量代換、三角函數代換、等等，在數學解題時，如果能靈活運用代換法，不僅能有效的鍛煉學生的思維敏捷性，而且能有效的提高學生的思維能力。下面我就以實際的例子來分析各種代換法在高等數學解題思路中的靈活應用。

2 不同類型的代換法在高中數學解題中的靈活應用

2.1 三角代換的解題思路

三角代換在高等數學解題中御用比較廣泛，它的解題思路有一定的技巧性，運用三角代換解題，科技使復雜的問題簡單化。利用三角代換解題的主旨是：通過適當的三角代換，將代數表達轉化為三角表達，進而把代數式的證明或解答轉化為三角式的證明和解答。從而起到理順思路、簡化題目的作用。比如09年江蘇高考數學競賽題中有這樣一道題：如果不等式+≤k對任何正實數x、y均成立，求k的取值范圍。

對于這道題目，首先分析題意，知道它所要求的內容與已知條件，再巧用代換法簡化解題過程。這道題的解題思路是這樣的：

2.2 變量解題方法

在高等數學中，很多函數體都是在已知函數相關等式的前提下，求相關的函數值，如果函數值比較復雜時，學生往往會被題目復雜的表面所困，實際上解答此類問題可以用可以用變量代替法簡化函數等式，使復雜的函數得到簡化，從而使學生輕而易舉的解出函數值，掌握解題思路，同時訓練學生的發散思維能力。比如下面有一個不同的已知函數等式，我們就可以利用變量進簡化的方式進行解題，具體步驟如下：

已知函數值f’(1nx)=1-x,求f(x)的值。解這道題時首先可以假設t=1nx，然后把 t代入已知函數中，即 f’（t）=1-x，簡化到這一步，相比很多學生就會解這道題了。求出x的值，再將其帶入原等式中，最后就可以得出f(x)的值。

2.3 概率中等量代換的運用

在高中數學中概率的學習對學生來說也是比較頭痛的事情，概率的學習需要學生具備較強的分析能力、概括能力以及簡化步驟的能力。高中階段的概率問題一般是古典概型，這類題的解題過程主要求一次實驗中所有可能的結果數目，以及某個事件所包含的結果數目，涉及的內容一般為排列、組合知識。在解題過程中，同樣要把復雜的問題簡單化，然后一步一步的進行解答。比如有這樣一道題：一個袋子中有8個紅球、4個白球，這些球除了顏色不同，其他都一樣。如果從袋子中任意拿出5個球，那么拿出紅球的概率為多少？

解這道題時，首先設未知量，用x表示紅球的數量，那么求p(x=3)的值。從題中可以看出p(x=3)==14/33≈0.42421。

題中指出這些球除了顏色相同以外，其他沒什么區別，但是在解題的過程中運用了組合的形式，也就是說解題時把這些球是當做區別來計算的，這樣算肯定石油一定道理的。我們先來看一個例子：某家商場進行大型促銷活動，活動規則是，有一個盒子，里面放10個不同號碼的乒乓球，10個乒乓球中有8個白色，2個黃色，顧客可以一次摸2個球，如果摸出的兩個球都是黃色，就中了一等獎，這里我們分析計算的是顧客參加活動的一等獎的概率有多大。

分析此類型的題時先假設顧客抽到一等獎的概率為f(x),然后從題中可以看出f(x)==1/45，這樣就得出了，在以上條件情況下抽到一等獎的概率為0.02222。幾天以后活動還在進行，但是球上的數字已經被慢慢擦去，這時顧客抽到一等獎的概率f(y)是不會變化的，因為影響結果的只是球的顏色，球的號碼并不影響結果。那么怎么算出f(y)的值呢，這時我們可以沒有區別的同色乒乓球當做有區別來計算，也就是說求出f(x)皆可以解決問題了。解答這樣的問題我們就利用等量代換的方法。如果遇到一個個體間沒有區別的題目，首先要假設這個題目中的個體是有區別的，進而判斷題目結果是否會變化；如果結果沒有變化，就可以把它當做有區別來計算。

2.4 比值代換

比值代換的計算是在已知條件或所求的量與變量的比值有關時，就可以利用比值代換的方法把問題簡單化。比如一條直線過點（-3,5,9），并且與直線 L1/L2 相交，L1=：y=3x+5 z=2x-3,L2=y=4x-7 z=5x+10，求此直線的方程。

首先假設此直線方程為：x+3/l=y-5/m=z+9/n,令x+3/l=y-5/m=z+9/n=t，得x=-3+lt y=5+mt Z=-9+nt,把這個公式代入L1得（m-3l)=1 n=2l,再令 x+3/l=y-5/m=z+9=s,然后得出 x、y、z分別為-3+ls 5+ms-9+ns,再將x、y、z的值代入到 L2 中，可以得到（m-4l)s=-24(n-5l)s=4,然后可以推倒出m-4l/n-5l=6,將 n=2l代入到（m-4l)/(n-5l)=-6中得m=22l,令l=1,則m=22,n=2,進而可以得到所求的直線方程為：x+3=y-5/22=z+9/2。

3 結語

總之在高等數學的學習過程中，代換法是一種比較常用的解題方法，它不僅能簡化解題過程，而且幫助學生分析解題思路，培養學生發散思維能力，靈活運用多種不同形式的代換法能將復雜而繁瑣的數學題簡化計算，收到奇妙的效果，使學生不在畏懼數學計算。所在在數學的學習中一定要綜合運用歸納、猜想、假設、數形結合以及等量轉化等相關的數學方式解決疑難問題，簡化數學解題思路，培養學生學習興趣，從而提高學生的學習能。

［1］黃文芳.談談高中數學變量代換解題方法[J].時代教育,2014(8)：156-157.

［2］馮凌.高考數學中“1”的變形計[J].考試周刊,2013(39)：225-226.