一種改進(jìn)的小波閾值降噪方法

李新君

（湖南人文科技學(xué)院機(jī)電工程系，湖南 婁底417000）

0 引言

任何信號(hào)在獲取和傳輸?shù)倪^(guò)程中都會(huì)受到噪聲的干擾，所以，實(shí)際應(yīng)用中獲得的信號(hào)大都是含有噪聲的。若不對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行降噪處理則會(huì)影響到特征識(shí)別、分類(lèi)等后續(xù)工作。信號(hào)降噪的目的就是在降低或者去除噪聲的同時(shí)最大限度地保留原始信號(hào)信息。近年來(lái)，隨著小波分析理論的發(fā)展和日趨完善，基于小波變換的信號(hào)降噪方法成為了研究熱點(diǎn)[1]。

用小波分析方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪已有很多人進(jìn)行了研究，也取得了相當(dāng)多的理論成果。Donoho和Johnstone創(chuàng)立的基于小波變換系數(shù)取閾值的方法，取得了很大的成功[2-3]。該方法是為去除一維信號(hào)高斯白噪聲而開(kāi)發(fā)的。其中小波閾值方法是應(yīng)用很廣且降噪效果相當(dāng)好的一種小波消噪方法，如硬閾值消噪方法和軟閾值消噪法都可取得較好的消噪效果。不過(guò)采用硬閾值消噪方法會(huì)在某些點(diǎn)產(chǎn)生間斷，而這些點(diǎn)有可能包含一些重要信息，采用軟閾值消噪方法則可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。

針對(duì)上述算法的不足，本文提出了一種改進(jìn)的軟閾值去噪算法，主要改進(jìn)之處是就是當(dāng)小波系數(shù)小于閾值時(shí)候，不再是直接地置為零，而是逐漸的減小直到為零；但是當(dāng)系數(shù)大于閾值的時(shí)候，就用小波系數(shù)幅度值把閾值減掉。仿真結(jié)果表明該方法具有較好的消噪效果。

1 小波閾值降噪算法原理

含噪信號(hào)經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)比較大,噪聲的小波系數(shù)相對(duì)比較小。如何選擇合適的閾值以保留信號(hào)的小波系數(shù),而讓大部分噪聲的小波系數(shù)置為零是小波閾值降噪的目標(biāo)。這種方法意味著，閾值化移去了小幅度的噪聲或非期望的信號(hào)，經(jīng)小波逆變換后可以得到所需要的信號(hào)。由此可見(jiàn)，在小波分析用于降噪的過(guò)程中，核心步驟就是在系數(shù)上的作用閾值[4]。具體步驟為：①采用小波變換方法對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行計(jì)算；②對(duì)分解得到的小波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值分析,閾值處理有硬閾值和軟閾值兩種方法；③最后再對(duì)該信號(hào)進(jìn)行小波逆變換以得到降噪后的原信號(hào)。

（1）硬閾值方法

圖1 硬閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)如下：

把含噪信號(hào)的小波系數(shù)的絕對(duì)值與所選定的閾值λ進(jìn)行比較，那些小于閾值的點(diǎn)變?yōu)榱?，而大于或等于閾值的點(diǎn)則保持不變，這種方法的缺點(diǎn)是在某些點(diǎn)可能會(huì)產(chǎn)生間斷，而這些間斷點(diǎn)卻有可能包含重要信息。

（2）軟閾值方法

軟閾值函數(shù)如下：

圖2 軟閾值函數(shù)

就是把含噪信號(hào)中的小波系數(shù)和閾值λ進(jìn)行相互比較，把大于或等于λ的點(diǎn)就進(jìn)行收縮處理為該點(diǎn)值與閾值的差值；小于或等于λ相反數(shù)的點(diǎn)收縮為該點(diǎn)值與閾值的和；小波系數(shù)絕對(duì)值小于閾值的點(diǎn)變?yōu)榱恪＼涢撝堤幚硐鄬?duì)要平滑，但是可能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象。

（3）閾值的選取

用小波閾值降噪法降噪時(shí)，閾值的選擇是關(guān)鍵。Donoho于1994年提出了VisuShrink方法，這種方法在最大估計(jì)的限制下能夠得出最優(yōu)閾值。閾值一般選取，但是其中的σ是噪聲信號(hào)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而N則表示信號(hào)的長(zhǎng)度。即使通過(guò)Donoho的理論證明而且還找到了最優(yōu)通用閾值，但是在實(shí)際的應(yīng)用中效果并不是很理想。

與VisuShrink的方法類(lèi)似，極小極大（Minimaxi）閾值方法也是一種固定的閾值選擇方式。它產(chǎn)生的是一個(gè)最小均方誤差的極值，而不是無(wú)誤差。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，這種極小極大原理用于設(shè)計(jì)估計(jì)器。因?yàn)橄牒蟮男盘?hào)可以看作與未知回歸函數(shù)的估計(jì)式相似，所以這種極值估計(jì)器可以在一個(gè)給定的函數(shù)集中實(shí)現(xiàn)最大均方誤差的最小化。Minimaxi閾值計(jì)算公式見(jiàn)式3：

2 改進(jìn)的小波閾值降噪算法

根據(jù)對(duì)小波閾值收縮降噪法的分析，可以知道降噪效果不僅與閾值λ的選擇有關(guān)，還與閾值函數(shù)的計(jì)算方法有關(guān)。目前閾值函數(shù)較為成熟的計(jì)算方法是軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)。但如前所述，軟閾值和硬閾值有它們各自的缺點(diǎn)：硬閾值法由于在λ處不連續(xù)，所得到的估計(jì)信號(hào)會(huì)產(chǎn)生附加振蕩；軟閾值法當(dāng)≥λ 時(shí)，與 wj，k總存在恒定的偏差，直接影響著估計(jì)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近尺度。

為了能夠有效地克服上述方法的缺點(diǎn)，本文提出了一種介于軟閾值和硬閾值之間的閾值函數(shù)。

閾值函數(shù)定義為

圖3 改進(jìn)的閾值函數(shù)

從圖3中可知，改進(jìn)的閾值函數(shù)位于硬閾值和軟閾值之間。就是當(dāng)小波系數(shù)小于閾值的時(shí)候，不是直接地置為零，而是逐漸的減小直到零；但是當(dāng)系數(shù)大于閾值的時(shí)候，就用小波系數(shù)幅度值把閾值減掉。采用這種做法，既能夠保證小波系數(shù)的準(zhǔn)確性，同時(shí)又能保證加閾值后系數(shù)的平滑過(guò)渡。它就能夠有效地避免硬閾值的缺點(diǎn)，同時(shí)也改善了在λ處的連續(xù)性，最后還能改善估計(jì)信號(hào)的光滑程度；它有效的克服了軟閾值的不足，即當(dāng)≥2λ 時(shí)，與 wj，k不存在的恒定的偏差，提高了估計(jì)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度。

3 仿真及其結(jié)果分析

為了比較硬閾值降噪方法、軟閾值降噪方法以及本文所提出的改進(jìn)算法對(duì)降噪的影響，可以利用MATLAB軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)[5]。仿真過(guò)程如下：

（1）將lececcum信號(hào)加上隨機(jī)高斯噪聲以產(chǎn)生含噪信號(hào)；

（2）分解，對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行6層分解；

（3）先把第一層的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差求出，再應(yīng)用Minimaxi閾值方法來(lái)計(jì)算閾值；

（4）高頻系數(shù)的閾值選擇，對(duì)于從第一到第六層的每一層，選擇一個(gè)閾值，并且對(duì)高頻系數(shù)用本文所提出的閾值處理方法進(jìn)行處理；

（5）重構(gòu)，根據(jù)第六層的低頻系數(shù)和從第一層到第六層的經(jīng)過(guò)修改的高頻系數(shù)，計(jì)算信號(hào)的小波重構(gòu)。其仿真得到的結(jié)果如圖4所示。

圖4 仿真結(jié)果

從圖4中可以清楚地看到，應(yīng)用改進(jìn)的閾值函數(shù)進(jìn)行降噪，確實(shí)可以克服硬閾值、軟閾值降噪的缺點(diǎn)，能夠得到很好的降噪效果。重構(gòu)的信號(hào)既有和原始信號(hào)一樣的光滑性，又可以很好地保留信號(hào)的邊緣等局部特征。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要針對(duì)小波變換閾值降噪方法中的硬閾值和軟閾值函數(shù)進(jìn)行了分析比較。在采用硬閾值方法處理過(guò)程中，得到的小波系數(shù)在閾值處不連續(xù)，有可能引起重構(gòu)信號(hào)的振蕩；而由軟閾值方法得到的小波系數(shù)雖然連續(xù)性好，易于處理，可是它與真實(shí)的小波系數(shù)之間存在著一定的偏差，必然就會(huì)降低重構(gòu)信號(hào)的精度。針對(duì)以上不足，本文提出了一種改進(jìn)的小波閾值降噪算法，該方法經(jīng)仿真驗(yàn)證表明，能夠比傳統(tǒng)閾值降噪方法更好的去除高斯白噪聲，保留原來(lái)信號(hào)的細(xì)節(jié)特征，而且算法并不復(fù)雜，是比傳統(tǒng)閾值降噪方法更為優(yōu)越的降噪方法，具有一定的現(xiàn)實(shí)和推廣意義。

［1］翟振興.基于小波變換的信號(hào)去噪研究[D].重慶大學(xué),2010.

［2］劉智.改進(jìn)的正交小波變換閾值去噪算法研究[J].計(jì)算機(jī)仿真,2011,8.

［3］S G Mallat.A theory for multiresolution signal decomposition[J].The wavelet representation，IEEE Transactions on pattern analysis and machine intelligence[J].1989,11(7)：674-693.

［4］王慧琴.小波分析與應(yīng)用[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社,2011.

［5］楊丹,趙海濱,龍哲.MATLAB圖像處理實(shí)例詳解[M].北京：清華大學(xué)出版社,2013.