“如切如磋”的數學反例教學

陳艷

摘 要：在數學學習中，“反例”有助于鞏固與強化基礎知識，理解與掌握概念、定理，培養學生的思維品質。本文從數學概念、定理和公式的理解與掌握這三個側面談如何運用反例教學

關鍵詞：初中數學；反例；教學

引言：這是一個關于數學反例的小故事：

18世紀著名的數學家歐拉在證明了費爾馬方程后，提出了一個猜想：x1n+x2n+…+xn-1n=xnn（n≥4）無正整數解。此后，在長達兩個世紀的時間里，都沒有人能夠否認歐拉猜想的正確性。直到1966年，L.J.Lander和T.R.Parkin利用電子計算機發現了：275+845+1105+1335=1445，對于n=4的情形，在1987年，哈佛大學的N.Elkies也找到了反例：26824404+153656394+187967604=206156734，后來R.Frye又找到了更小的反例：958004+2175194+4145604=

4224814。

正如數學家蓋爾鮑姆與奧斯特德在《分析中的反例》一書中所指出的，數學是有證明和反例組成的，數學是想著提出證明和構造反例的方向不斷發展的。一個數學命題需要嚴密的證明才能肯定其正確性，而一個巧妙的反例就可以否定一個命題的正確性。在數學學習中，“反例”對鞏固與強化基礎知識，理解與掌握概念、定理，培養學生的思維品質等有著極為重要的意義。

一、運用反例，層層推進概念的理解與掌握

矛盾沖突是事物發展的根本動力。數學學習中，矛盾沖突同樣有助于激活學生思維，優化理性思維品質。我國有句古話叫“如切如磋，如琢如磨”，我認為這句話放在這里也是很合宜的。通過運用反例，激起思維上的矛盾沖突，在辨析中深刻概念的理解與掌握。臺大教授黃武雄也說過“導引定義，經常可以從反例著手”。

二、運用反例，熟練定理或性質的掌握與運用

數學定理具有科學的嚴謹性，定理的描述往往都是條件句，而定理的證明也多是從假設出發，才推出結論的。而一些學生在記憶的時候，往往忽略了定理中的“條件”，對“條件”有誤，就會導致定理的運用錯誤。

例如，在學習全等三角形的判定時，我發現學生有兩種錯誤：其一認為不僅“邊邊邊、邊角邊、角角邊、角邊角”的情況下三角形全等，而且滿足“角角角”的情況下三角形也全等。這時候，我僅僅只是舉起了一塊三角板，學生就明白了，因為在這塊直角三角板的內部還有一個鏤空的三角形，內外兩個直角三角形的角均對應相等，但三角形顯然不全等。

又例如，在學習“有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等”我發現有些學生將這個“夾”字給忽略了，記成“有兩邊和一個角對應相等的兩個三角形全等”這時候，我就在黑板上畫了：

當然，在對定理的拓展延伸階段仍可以巧用反例，在認識到“有兩邊和一個角對應相等的兩個三角形全等”這句話不正確以后，我提出了“只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形一定不全等么？”結合圖1有學生想到，加入這個角對應的是這個三角形中最大的一邊，則兩個三角形是全等。然后，我又讓學生仿照這個格式，尋找滿足“只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等”命題的條件還有哪些，在經過較長時間的思考后，學生陸續提出，“當已知的等角是直角時，命題成立”“若兩個三角形都是兩個鈍角三角形，則命題成立”“若兩個三角形都是銳角三角形，則命題成立”等等。

通過這樣的證明與反例交替的學習，學生對定理或性質的理解就不再僅僅局限于文字表面了，對定理的熟練運用也十分有益。

在一些命題和性質的證明中，應用反例的方法，就是數學中最常見的反證法。對一些命題，直接證明不易入手，而應用反證法，往往會豁然開朗。如，命題中帶有“沒有”“不能”“不是”字樣的否定性命題就適于用反證法。例如“求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。”已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內角，求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個鈍角。那么，我們就可以假設∠A、∠B是鈍角，即∠A>90°，∠B>90°，則∠A+∠B+∠C>180°，與定理“三角形內角和為180°”的定理矛盾，因此，假設不成立，即在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。

此外，像帶有“至多、至少”字樣的限定性命題、帶有“總是、全部”字樣的全肯定命題都適用反證法來證明。而對某些命題的逆命題的證明，應用反證法進行證明時可以使用原命題的結論，為解題帶來便捷。

三、運用反例，準確掌握和運用公式

很多數學的公式的運用是有其前提條件的，學生在初學的時候，往往忽略了這些條件，在運用公式的時候就經常犯錯。面對這種情況，我經常會給學生設下個小圈套，假如學生“中計”我正好將條件在這時候抖落出來，加深學生對錯誤的認識，再不敢粗心大意的用公式了。

反例對幫助學生澄清是非，認識數學問題的本質，準確運用公式有十分積極的教學意義。

四、運用反例教學應注意的問題

在教學中運用反例，最大的目的在于幫助學生換位思考，不要老師糾結命題為什么對，而是去思考命題為什么錯，錯在哪？在運用反例教學的時候，需要注意以下問題。

首先，反例的引入要合理。反例教學雖好，但一節課上用的過多，也會讓學生生厭，適得其反。反例的設計要合理，要切合學生練習中常出現的錯誤，對學生起到警示、糾錯的作用。對癥下藥，才能藥到病除。其次，反例要有知識梯度。即運用反例要考慮學生的認知規律，既要注意難度程度的遞進，又要針對學生的反應適時地給學生搭建踏板，幫助他們實現知識過渡。最重要的是，運用反例要有針對性，要有指向性，要針對本節課的教學目標或教學重難點 [3]。

反例教學不僅能幫助學生理解與掌握數學概念、定理和公式，還能幫助學生糾錯、培養他們的邏輯思維和創新思維，提高他們的數學思維品質。此外，學會舉反例，更有助于學生形成批判意識。可見反例在數學教學中的價值是巨大的，我們不僅要重視命題證明方面的教學，也要重視反例教學。使學生在“證明”與“反例”的“切磋”中，全面掌握數學知識，解決數學問題。

參考文獻：

[1]王曉勇. 反例在初中數學課堂教學中的價值[J]數學學習與研究，2012（16）.

[2]凌建民. 運用反例，促進初中數學教學[J]中學生數理化·教與學，2014（7）.

[3]張裕華. 淺析初中數學反例教學實施的具體要求[J]理科考試研究·數學版，2013（11）.