例談等效替代法在靜電場與恒定電流中的應用

羅長順

在高中物理教學與學習中，等效法是常用的科學思維方法。所謂“等效法”就是在特定的某種意義上，在保證效果相同的前提下，將陌生的、復雜的、難處理的問題轉換成熟悉的、容易的、易處理的一種方法。等效思維的實質就是人們研究事物或運動時從總體出發，重點考慮最后的結果，將較為復雜的實際問題變換為簡單的熟悉問題，忽略事物發展過程中內部結構的細節，只要兩個不同的事物或運動具有相同的功能和結果，可使二者相互代替，并視為等效。在物理學中到處可見。如“合力與分力”、“合運動與分運動”、“總電阻與分電阻”等。利用等效法不但能將問題及其過程由繁變簡、由難變易、由具體到抽象，同時也能啟迪思維，提高學生的解題能力。下面例談等效替代法在靜電場與恒定電流中的一些應用。

一、等效法在電場中的應用

1.力的等效，等效法在復合場中的應用

如：當帶電體受到恒定的重力的同時還受到恒定的電場力，此時把這二個力的合力等效為新的重力，這樣就可以把較復雜的問題轉化為較簡單的物理問題。

例1 一條長為l的細線上端固定在O點，下端系一個質量為m的帶電小球，它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為E，方向水平向右，已知小球在B點時平衡，細線與豎直線的夾角為α，如圖1-1所示，求：

（1）當細線與豎直方向的夾角為多大時，才能使小球由靜止釋放后，細線到豎直位置時，小球速度恰好為零？

（2）當細線與豎直方向成α角時，至少要給小球一個多大的速度v0，才能使小球做圓周運動？

解題方法與技巧：此題用常規方法求解，則解題繁鎖，特別是求第二步，關鍵是要正確確定在豎直平面運動的過程中最小速度及所在位置，一般來說根據能量關系或動能定律來確定，此時就特別棘手，繁雜。

利用等效重力便能迅速確定它的位置，找到等效重力的方向，就可以確定等效重力的最“高點”，即為速度最小的位置及大小。

（1）由小球在B點平衡，可得等效重力加速度為

g′=■=■=g/cosα ①（如圖1-2）

小球在A、C間的運動類比為一單擺，B點為振動的平衡位置，兩側A、C點為最大位移處，由對稱性即可得出結論： θ=2α。

（2）繩系小球在復合場中做圓周運動的條件與在重力場中類似，等效最“高點”為D，等效“最低”點為B。剛好過最“高點”的條件是TD=0。

在D點設速度為v， mg′=m■ ②

從B點→D點，由動能定理

-2mg′l=■mv2-■mv02 ③

聯立①②③可得 v0=■。

提升：分力和其合力是等效替代關系，此題用等效重力代替重力和電場力，將小球在重力場和電場中的運動情況轉化為類似于只在重力場中運動的一般情況，將問題大大簡化。

2.電場強度的等效

例2 如圖2所示，一帶-Q電荷量的點電荷A，與一塊很大的接地金屬板MN組成一系統，點電荷A與MN板垂直距離為d，試求垂線d中點B處的電場強度。

解題方法與技巧：本題用等效法來處理。MN金屬板接地電勢為零，MN右側表面處場強處處與表面垂直，右側表面電場線的特點與等量異種點電荷中垂面相同，可以等量異種點電荷來等效代替，相當于左邊與A等距離處放一等量的正電荷C，則兩個等量的點電荷在B點的合場強，就等效為要求的B的場強。如圖3所示，這樣就很容易求出B點的電場強度。B點的電場強度等于點電荷A和C在B點產生的電場強度的矢量和，即EB=■+■=■，方向由B點沿CA直線指向A。

3.電荷的等效

例3 如圖4所示，A、B、C、D、E是半徑為r的圓周上等間距的五個點，在這些點上各固定一個點電荷，除A點處的電量為-q外，其余各點處的電量均為+q，則圓心O處（ ）

A.場強大小為■，方向沿OA方向

B.場強大小為■，方向沿AO方向

C.場強大小為■，方向沿OA方向

D.場強大小為■，方向沿AO方向

解析 在A處放一個-q的點電荷與在A處同時放一個+q和-2q的點電荷的效果相當，因此可以認為O處的場是5個+q和一個-2q的點電荷產生的場合成的，5個+q處于對稱位置上，在圓心O處產生的合場強為0，所以O點的場強相當于-2q在O處產生的場強。故選C.

二、等效法在恒定電流中的應用

4.電阻的等效

例4 （1999年上海）如圖5所示電路由8個不同的電阻組成，已知R1=12Ω，其余電阻阻值未知，測得A、B間的總電阻為4Ω。今將R1換成6Ω的電阻，則A、B間的總電阻為 Ω

解題方法與技巧：本題若直接用畫等效電路圖的方法，很難求解，如果用用等效替代法，就很容易解決問題。方法是將除R1以外的7個電阻等效為一個電阻R0，則原電路可以等效為R1和R0的并聯，從而可以求出R0=6Ω，再將R1換成6Ω的電阻后，A、B間的總電阻為3Ω。

5.在測電阻的實驗中等效替代法的應用

例5 連接如圖6所示的電路，R為電阻箱，Rx為待測電阻，在下列兩種情況使滑動變阻器的連入電路阻值不變的前提下，通過調節電阻箱R，使單刀雙擲開關S分別接1和2時，若電流表中的電流示數相同，就表明Rx=R，讀出電阻箱的阻值R，即可測出Rx。

6.電路中等效電源的應用

所謂等效電源，是將某一部分具有兩個出線端含有電源的兩端網絡電路視為一個新的電源。此時的電動勢為等效電源的外電路開路時路端電壓，內電阻為等效電源網絡兩端的總電阻。

例6 如圖7所示的甲、乙兩個電路中電源電動勢E和內電阻r已知，定值電阻R0已知，求電阻R調至多大時，R上獲得的電功率最大，其最大值為多少？電源在什么條件下輸出功率最大？

錯解分析：考生往往借助常規思路，據閉合電路歐姆定律及直流電路特點，寫出R的功率表達式，討論求解，繁雜易錯，思維缺乏靈活性。

解題方法與技巧：本題用電源等效法分析比較巧妙，設沿虛線將電路隔離成左、右兩部分，左邊部分可以看作一個新的電源，對（甲）圖電路來說，新電源的電動勢為E′=E，而內電阻r′=r+R0；對（乙）圖來說，新電源的電動勢為E′=■E，而r′=■。如圖7所示，虛線右邊部分即為新電源的外電阻R，這種新電源又叫做等效電源。這樣原來的甲乙電路就簡化成了由等效電源（E′，r′）與電阻R連成的最簡單電路。由電源的輸出功率（即外電路上R獲得的電功率）與外電阻R的關系知，在（甲）圖中當R=r′=r+R0時，R上獲得的電功率最大，其最大功率為Pm=■=■；對（乙）圖中當R=r′=■時R上獲得的功率最大，即最大功率為：

Pm=■=■=■。

以上是等效法在電場與恒定電流的一些典型應用，利用等效法就是將所研究復雜問題通過適當的變換，化為簡單的模型問題，將陌生的情景化為熟悉的情景，靈活的進行等效轉換，這樣就能迅速、簡捷找到解決問題的最佳途徑，達到事半功倍之功效。以上僅僅是筆者在教學中的一些總結，旨在拋磚引玉，希望各位同仁進一步去挖掘、去總結。