基于2013年泉州市數學中考第25題的變式探究

林友通

摘 要：本文對2013年福建省泉州市中考數學第25題試題的命制從考點分析及其思想方法的體現，解題思路的分析，題目的拓展延伸及變式分析，反思及感悟等幾個方面做深入探討.

關鍵詞：泉州；中考；考題命制；探究

2013年福建省泉州市中考數學第25題是綜合性較強的試題，值得我們深入探究。下面就題目的考點分析及其思想方法的體現，解題思路的分析，題目的拓展延伸及變式分析，反思及感悟等方面做探討.

一、考題內容

如圖1，直線y=

-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點P的坐標，使∠APO=30°；

（3）在坐標平面內，平移直線BC，試探索：

當BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變？若不變，指出點P的個數有幾個？若改變，指出點P的個數情況，并簡要說明理由.

二、考題分析

考題分析如表1：

三、解題思路

題（1）分析：求角的值，已知一些線段的長度，一般可考慮利用求該角的三角函數值.由條件可得B（2，0），C（0，2■）

則OB=2，OC=2■

于是在Rt△COB中tan∠ABC=■=■=■，

∴∠ABC=60° .

題（2）分析：（解法一）如圖2，利用特殊三角形的性質，本小題注意到△ABC為等邊三角形，易得∠ACO=30°，即C是所求的一點P，另注意到邊BC的中點P，由等邊三角形ABC可得∠APB=90°，且O為AB中點，故得OB=OP，∠OPB=∠ABC=60°，所以∠APO=∠APB-∠OPB=30°.

（解法二）如圖3，利用解法一知∠ACO=30° . 以AC為直徑作圓，與直線BC的兩個交點即滿足題目條件的點P.

題（3）分析：以AO為弦，且所對圓心角為60°的圓有兩個（⊙Q和⊙Q′），直線BC與兩圓的公共點P都滿足∠APO=■∠AQO=■∠AQ′O=30°.當BC在不同位置時，滿足P的個數情況有五種.即當BC在不同位置時，點P的個數會發生改變，使∠APO=30°的點P的個數情況有五種：1個、2個、3個、4個、0個.（如圖4）

四、拓伸變式

拓變一：條件拓變，結論不變.

變式1：如圖5，直線y=-x+2分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點P的坐標，使∠APO=30°；

（3）在坐標平面內，平移直線BC，試探索：

當BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變？若不變，指出點P的個數有幾個？若改變，指出點P的個數情況，并簡要說明理由.

變式2：如圖6，直線 y=-■x+■■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點P的坐標，使∠APO=30°；

（3）在坐標平面內，平移直線BC，試探索：

當BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變？若不變，指出點P的個數有幾個？若改變，指出點P的個數情況，并簡要說明理由.

變式3：如圖7，直線y=kx-2k（k<0）分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.

（1）求∠ABC的大小；

（2）求點P的坐標，使∠APO=30°；

（3）在坐標平面內，平移直線BC，試探索：

當BC在不同位置時，使∠APO=30°的點P的個數是否保持不變？若不變，指出點P的個數有幾個？若改變，指出點P的個數情況，并簡要說明理由.

說明：變式1-3運用從特殊到一般的數學思想方法來變式命題.

拓變二：條件不變，結論拓變.

變式1：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.求線段AP的最小值.

變式2：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.試問是否存在點P，使得△AOP周長最短.若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

說明：變式1-2從數學中常見的求最值問題方面來變式命題.

變式3：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.試問是否存在點P，以A、P、B為頂點的三角形與△OBC相似.若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

變式4：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.試問是否存在點P，以A、P、C為頂點的三角形與△OBC相似.若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

說明：變式3-4從數學中相似三角形的綜合應用方面來變式命題.

變式5：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.試問是否存在點P，使得S△AOP=S△OBC .若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

變式6：如圖8，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點 . 試問是否存在點P，使得S△AOP=S△ABC .若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

說明：變式5-6體現了數學中面積應用問題的變式命題.

拓變三：增添條件，拓展延伸.

變式1：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的點.若以A為圓心，以AP為半徑的圓與直線BC相切，試求出點P的坐標.

變式2：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的點. 若以O為圓心，以OP為半徑的圓與直線BC相切，試求出點P的坐標.

變式3：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，P是直線BC上的點.若以P為圓心，以為半徑的圓與兩坐標軸均相切，試求出點P的坐標.

變式4：如圖9，直線y=-■x+2■分別與x、y軸交于點B、C，點A（-2，0），P是直線BC上的動點.試問是否存在點P，以P為圓心，以r為半徑的圓P，與以A為圓心，以AO為半徑的圓A相切，且與橫軸也相切.若存在，請求出r值及點P的坐標；若不存在，請說明理由.

說明：變式1-4從直線與圓、圓與圓的位置關系的應用來進行變式命題.

五、反思感悟

《義務教育數學課程標準》（2011年版）對數學評價提出了明確建議：“在設計試題時，應該關注并且體現《課程標準》的設計思路中提出的幾個核心詞：數感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數據分析觀念.”“根據評價的目的合理地設計試題的類型，有效地發揮各種類型題目的功能.例如，為考查學生從具體情境中獲取信息的能力，可以設計閱讀分析的問題；為考查學生的探究能力，可以設計探索規律的問題；為考查學生解決問題的能力，可以設計具有實際背景的問題；為了考查學生的創造能力，可以設計開放性問題.”為今后數學中考命題指明了方向.總之，中考試題要體現《義務教育數學課程標準》（2011年版）的課程理念，要有利于改善學生的數學學習方式、豐富學生的數學學習體驗、提高學生學習數學的效率，有效地評價學生的數學學習情況.在基礎知識與基本技能的考查方面，避免簡單的記憶，注重真正的理解，避免重復的訓練，注重對數學本質的認識，命題應加強數學與社會實際和學生生活的聯系，注重考查學生對基礎知識和基本技能的真正理解與掌握情況，特別是在具體情境中合理運用所學知識分析和解決問題的能力，在基本思想與基本活動經驗的考查方面，突出創新精神和應用意識，重視歸納能力的考查.要關注學生數學學習的水平，更要關注他們在數學活動中所呈現出的基本活動經驗，突出評價的創新性、創造性.