淺談力學中極值與臨界值的求解方法

郭慧云

摘要：高中新生普遍覺得物理難學，力學中的極值與臨界值的求解在力學教學中一直是一個難點。本文列舉了一些典型的例題加以分析說明，旨在與同行交流切磋，找到更有效的教學方法。

關鍵詞：力學；極值與臨界值；求解方法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0125

力學中的極值與臨界值的求解在力學教學中一直是一個難點，但此類問題的求解卻是提高學生思維能力的有效手段，應引起我們的重視。

力學中的問題多為矢量問題，如受力、運動中的加速度、速度及位移等問題的求解。在分析求解時，矢量的正交分解和合成、相對運動中相對速度的利用等是常用的基本方法。在此基礎上，對于具體的力學中的極值、臨界值的求解問題，應從分析物體的受力、物體的運動過程和運動狀態入手，借助于相關的數學手段加以解決。

常用的數學工具即三角函數y=sinx，y=cosx，當0≤x≤■時，有0≤y≤1；以及二次函數y=ax2+bx+c的性質、圖象的特點等。下面，筆者通過幾個例子來具體說明怎樣求解力學中的極值和臨界值。

一、極值

[例一]如圖(1-1)一個質量為m的物體放在粗糙的水平面上，物體與水平面間的摩擦系數為μ。當用一外力F拉物體在水平面上沿起直線勻速前進時，問：a角多大時，拉力F最小。

[分析]我們選物體m為研究對象，受力分析如圖(1-2)，G為重力，N為平面支持力，f為物體與水平面間的滑動摩擦力。由受力分析知，當a角變化時，支持力N也隨之變化，又因f=μN，滑動摩擦力f也要變化，解題時，我們應把握住物體的運動狀態是勻速直線運動，故所受合外力為零，采用正交分解法求出最小拉力F。

[解]如圖(1-3)建立坐標系將F正交分解，由F合外=0得

Fcosa-f=0 ①

Fsina +N-G=0 ②

f=μN ③

由①、②、③式聯立解得

Fcosa-μ(G- Fsina)=0 整理得

F(cosa +μsina)=μG④

在④式中，因cosa是減函數，sina是增函數，我們很難從(cosa +μsina)一項中看出力F隨角度a變化的趨勢，對此，我們可以令

μ=ctgθ=■

因為μ為常數，所以θ為一確定的值。把μ= ctgθ=■代入④式，得

F=(sinμcosa+sinacosμ)μGsinμ

應用sinμcosa+sinacosμ=sin(a+θ)

得F=■

因為0<μ<1，有0<θ<π/4，當a+θ=π/2時，力F有極小值為Fmin=μGsinθ

其中θ=ctg-1μ，sinθ=■，G=mg

所以，當a=(π/2)-cyg-1μ時，F有極小值Fmin=μ■

在此例中，我們主要運用數學知識sinx≤1的性質，求出含有cosa和sina函數的極值，從而得到所求物理量的極值，應注意的是，若y=sinx±μcosx也可以令μ=sinθ /cosθ，從而有y=sin(x+θ)。

通過以上例子我們可以看出，求解此類問題時一定要理解掌握物理概念和物理規律，做好必要的受力、狀態、過程的分析。千萬不要只追求數學手段而忽略結果的物理意義。

二、臨界值

這里所述并不是數學中的臨界概念，而是指一種物理過程到另一種物理過程的連接點。對這類問題，由于諸多可變參量常常使學生解題時無從下手，其實解題的關鍵在于求解臨界狀態。

[例二]物體A的質量為mA，物體B的質量為mB。兩物體疊放在水平面上，如圖(2-1)。物體A與物體B、物體B與水平面間的摩擦系數為μ1和μ2。當用一水平力F拉物體B時，求A與B獲得的加速度aA和aB，A物體所受的摩擦力。(最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力)

[分析]由于題中力F的大小是不定值，所以解答的關鍵是討論力F可能產生的幾種效果，對此可分為如下幾種情況：

1. 當力F不大于B物體和地面間最大靜摩擦力時，A和B仍靜止。

2. 當力F大于B物體和地面間最大靜摩擦力時，A和B對地面運動，但A、B之間仍存在有相對運動和無相對運動兩種情況。

所以，在求解過程中應抓住A、B對地有無運動，A和B之間有無相對運動兩個臨界狀態下力F的值。

[解]A受力分析如圖(2-2)、B受力分析如圖(2-3)，其中地面的最大靜摩擦力為μ2N地B，而N地B =(mA+mB)g。

物體A、B之間最大靜摩擦力為μ1NBA，且NBA=mAg。

1.當F滿足F≤μ2N地B =μ2(mA+mB)g時，物體A、B對地靜止，F=μ2(mA+mB)g是物體A、B對地動與不動的臨界值。

由平衡條件，此時

物體A的aA=0

物體B的aB=0

物體A給B物體的摩擦力fBA=0

2. 當F滿足F>μ2N地B時，物體A、B之間仍有兩種運動情況：

(1)A、B無相對運動，而以共同加速度a對地運動，這時可把A、B看成一個整體，由牛頓第二定律有

F-μ2N地B =(mA+ mB)a ①

若單獨對物體A分析，由牛頓第二定律有

fBA=mAa ②

但fBA必須滿足

fBA≤μ1NBA=μ1mAg③

將③代入②得a≤μ1g,，將此結果代入①

可解得當F滿足：

F≤(mA+mB)μ1g+(mA+mB)μ2g=(mA+mB)g(μ1+μ2)條件時，A、B兩物體不發生相對運動。其中F=(mA+mB)g(μ1+μ2)為 A、B兩物體有無相對運動的臨界值，從而由①解得A、B物體的共同加速度為：

aA=aa=[F-μ2(mA+mB)g]/(mA+ma)

代入②即求出A物體受的靜摩擦力fBA為：

fBA=mA[ F-μ2(mA+mB)g]/(mA+ma)

(2)A、B若發生相對運動，此時應滿足

F>(mA+mag)(μ1+μ2)根據牛頓第二定律，可以得到：

F-μ1NBA-μ2N地B=mBaB ①

fAB=mAaA ②

由牛頓第三定律知：fAB=fBA=μ1NBA=μ1mAg代入②得A物體的加速度為：

aA=μ1g

由①解得B物體的加速度為：

aB={F-(μ1mA+μ2mB+μ2mA)g}/mB

由上例可以知道,臨界值之所以重要，是因為偏離這個值物體有不同的運動狀態和運動規律，找出臨界點，就可以區分物體不同的運動狀態，然后才能用相應的物理規律求解。

找出極值和臨界值，是求解極值和臨界值問題的有效途徑，我們要認真審題找出已知和未知之間相聯系的物理過程和規律，特別要注意的是，極值和臨界這兩個特殊狀態的重要物理意義，它是整個物理過程中幾個不同過程和狀態的連接點。