一道求不等式最值的解題探源

唐榮瓊

摘要：通過對一道不等式求最值的探索，不僅能夠更加清晰地認識命題思想，尋找命題的背景材料，追蹤溯源，還可以開發試題的教學功效。通過對本試題的探索，達到對知識更深刻的認識。

關鍵詞：不等式；最值；解題

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0135

題目：設■b是1-a和1+a的等比中項，則a+3b的最大值為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

解法1：運用方程思想

令a+3b=m，則a=m-3b，代入a2+3b2=1，有(m-3b)2+3b2=1，即m2+9b2-6mb+3b2-1=0。化簡得12b2-6mb+m2-1=0。

這是關于b的一元二次方程，且有解，故△=36m2-48(m2-1)≥0，即m2≤4，所以-2≤m≤2，即a+3b的最大值為2。

評注：將求解的問題轉化為方程處理，這是高中數學的一種重要方法。

解法2：運用(三角)換元的思想

令a=sinθ，■b=cosθ，即b=■cosθ(θ∈R)，代入a+3b，得a+3b=sin+■cosθ=2sin(θ+■)。由θ∈R，知2sin(θ+■)≤2，所以a+3b的最大值為2。

評注：換元思想的利用往往可以簡化問題形式結構，降低問題難度。

解法3：運用待定系數法

2λ1a+2λ23b=2λ1a+2(■λ2)(■b)≤λ1＋a2+3b2+3λ2，當且僅當λ1=a，λ2=b時取等號，即2λ1a+6λ2b≤2，比較2λ1a+6λ2b與a+3b的系數，有λ1=λ2=a=b時上述不等式取等號。將a=b代入a2+3b2=1，得λ1=λ2=a=b=■

因此2λ1a+6λ2b≤2，即a+3b≤2，當且僅當a=b=■時等號成立。

評注：不等式問題處理的錯誤通常在于取等號條件的把握，等號取不到可能就是系數原因，于是選用待定系數法。

解法4：運用柯西不等式

觀察題目結構發現與柯西不等式類似，于是利用柯西不等式：得■(aibi)2≤(■ai2)(■ai2)，(a+3b)2=(1a+■■b)2≤[12+(■)2[a2+3b2]，即(a+3b)2≤4，∴-2≤a+3b≤２，即a+3b的最大值為2。

評注：公式法使用的關鍵是觀察問題的結構特征，選擇恰當方式，利用結構合理的公式處理。

解法5：運用向量思想

構造向量 ■=(a，■b)，■=(1，■)，則■=■=1，■=2。由■·■=mncosθ≤mn，得■·■=a+3b≤２，即a+3b的最大值為2.

解法6：利用函數的單調性

由a2+3b2=1知，只有a＞0，b＞0時，a+3b才可能取得最大值。令b＞0，有b=■，∴a+3b=a+■。設f(x)=x+■, x＞0，則f ′(x)=1-■。令f ′(x)=0，解得x=■。

根據函數的單調性，當x=■時，f(x)取得最大值2。所以a+3b≤2，即a+3b的最大值為2。

評注：知識的前后聯系有助于對知識的深刻認識，可以優化思維，培養思維的廣闊性、靈活性和深刻性。

解法7：運用數形結合思想

由a2+3b2=1得a2+■=1，令a=x，b=y，則x2+■=1表示橢圓。

于是，原題轉化為：若直線t=x+3y與橢圓x2+■=1有交點，求t的最大值。

如圖1，易知直線恰好是橢圓的切線時，t取最大值或最小值。所以當方程組

x2+■=1t=x+3y只有一個解時，

t取得最值。將x=-3y+t代入x2+■=1，得12y2-6ty+t2-1=0，有兩個相等的實根，故△=36t2-48(t2-1)=0，解得t1=2或t2=-2，所以a+3b的最大值為2。

評注：由數到形的交替轉換，促成了不等式問題的更好解決。

解法8：利用等號條件成立作出猜想

從前面已經知道，當a=b=■時，a+3b取得最大值2。

∴(a-■)+3(b-■)≤(a-■)(a+■)+3(b-■)(b+■)=0，

∴a+3b≤2，即a+3b的最大值為2.

上述不等式成立的理由如下：

∵(a-■)(a+■)-(a-■)=(a-■)2≥0

∴(a-■)(a+■)(a-■)≥(a-■)，

同理：3(b-■)(b+■)-3(b-■)=3(b-■)2≥0

∴3(b-■)(b+■)≥3(b-■)

評注：這種思想方法是在對知識有相當深刻認識的基礎上得到的。看似簡單，其蘊含的思想相當豐富。

通過以上八種思想的處理，我們會發現數學中的很多知識都有著千絲萬縷的聯系，只要我們能夠更多地去探索和思考，就會對知識的產生發展過程有更加深刻的認識。