拋物線性質(zhì)歸納與推廣

周小芬

摘要：在圓錐曲線教學(xué)中，拋物線是重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，它具有很多、很美、很重要的性質(zhì)。本文擬對(duì)此類特點(diǎn)進(jìn)行探究并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行歸納與推廣。

關(guān)鍵詞：拋物線；焦點(diǎn)；直線；圓

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711(2014)06-0154

在圓錐曲線教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)拋物線有很多、很美、很重要的性質(zhì)。而很好地掌握這些性質(zhì)對(duì)于圓錐曲線特別是拋物線的學(xué)習(xí)很有幫助。

性質(zhì)1：過y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積為定值，且xAxB＝■，yAyB=-P 2。

證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，如圖(1)，此時(shí)直線的方程為x＝■，所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(■，-P)，B(■，P)，所以 yAyB=-P 2，xAxB＝■。

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，如圖(2)，假設(shè)斜率為k，則直線的方程為y=k(x-■)，y=k(x-■)和y2=2px聯(lián)立消去x得：ky2-2py-kp2=0，所以，

yAyB=-P 2，y=k(x-■)和y2=2px聯(lián)立消去y得：k2x2-p(k2+2)x+■=0

所以xAxB＝■。

性質(zhì)2：過y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，則■+■為定值，且■+■=■。

證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，如圖(1)，此時(shí)直線的方程為x=■，

所以A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(■，-p)、B(■，p)，所以■+■=■成立。

當(dāng)斜率存在時(shí)，如圖(2)，假設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則直線AB的參數(shù)方程為x=■+tcosθy=tsinθ(θ為參數(shù)），與y2=2px聯(lián)立得sin2θt2-2pcosθt-p2=0

∴■+■=■=■=■=■=■

性質(zhì)3(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式)：過y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，則AB=tA-tB=■=■

證明：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，

如圖(1)，此時(shí)θ＝■時(shí)，AB=2p=■

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，如圖(2)，由性質(zhì)2可知，

AB=tA-tB=■=■=■

注意：過拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)存在最小值，不存在最大值：當(dāng)時(shí)θ=■，ABmin=2p，此時(shí)稱弦AB為拋物線的通徑。

性質(zhì)4(焦三角形面積公式)：過y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，則三角形OAB的面積S△OAB=■。

證明：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，如圖(1)，∵θ=■，∴S△OAB=■

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，如圖(3)，

過O作OH⊥AB，則OH=■sinθ

∴S△OAB=■AB·OH=■×■×■=■，

∵0≤θ≤180°，∴0≤sinθ≤1

∴θ=■時(shí)，S△OAB最小值■。

注意：三角形OAB的面積存在最小值 ：當(dāng)θ=■時(shí)，S△OAB最小值■，不存在最大值。

性質(zhì)5：過y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)Ｆ的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，以弦AB為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線l相切。

證明：如圖(4)所示，取AB中點(diǎn)為C，過C作CC′垂直準(zhǔn)線，過A作AA′垂直準(zhǔn)線，過B作BB′垂直準(zhǔn)線，則CC′=■(AA′+BB′)=■AB=r

性質(zhì)5推廣(1)：過y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)Ｆ的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，過A作AA′垂直準(zhǔn)線，過B作BB′垂直準(zhǔn)線，以A′B′為直徑的圓必與AB相切，且切點(diǎn)為焦點(diǎn)Ｆ，半徑為r=p■

證明：

當(dāng)斜率不存在時(shí)，明顯成立

當(dāng)斜率存在時(shí)，假設(shè)斜率為k存在時(shí)，如圖（5）所示，

設(shè)直線為y=k(x-■)圓心坐標(biāo)為(-■，■)

∴y=k(x-■)和y2=2px得：ky2-2py-kp2=0

∵yA+yB=■和yAyB=-p2

∴yB-yA=■

=■=2p■

∴(x+■)2+(y-■)2=(p■)2

點(diǎn)到直線的距離為d=■=p■∴相切

又∵圓心到焦點(diǎn)的距離為OF′＝■=p■=r，所以相切與焦點(diǎn)F。

性質(zhì)5推廣(2)：已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為Ｆ，過焦點(diǎn)Ｆ的一條直線和拋物線交于A(xA，yA)、B(xB，yB)兩點(diǎn)，點(diǎn)A′，B′為A，B在準(zhǔn)線上的射影，焦點(diǎn)Ｆ對(duì)A，B在準(zhǔn)線上的射影張角∠A′FB′=90°

解：由性質(zhì)5推廣(2)得，Ｆ點(diǎn)在以A′，B′為直徑的圓上，∴∠A′FB′=90°

性質(zhì)6：已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為Ｆ，過焦點(diǎn)的兩條弦AB與CD，當(dāng)傾角互補(bǔ)時(shí)，則AF·FB=CF·FD。

證明：如圖(6)所示，

設(shè)AB方程：x=■+tcosθy=tsinθ(θ為參數(shù)），CD方程：

x=■-tcosθy=tsinθ(θ為參數(shù)）

與y2=2px聯(lián)立，分別得：

sin2θt2-2pcosθt-p2=0或sin2θt2+2pcosθt-p2=0

∴tAtB=■和∴tCtD=■

∴tAtB=tCtD，AF·FB=CF·FD成立

性質(zhì)6推廣(1)：已知拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過任意一點(diǎn)Ｍ(x0，y0)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線與拋物線分別交于A、B和C、D兩點(diǎn)，求證：MA·MB=MF·MD。

證明：如圖(7)所示，設(shè)AB方程：x=x0+tcosθy=y0+tcosθ(θ為參數(shù)）

CD方程：x=x0-tcosθy=y0+tcosθ(θ為參數(shù)）

與y2=2px聯(lián)立，分別得：

sin2θt2+(2y0sinθ-2pcosθ)t+y0-2px0=0

sin2θt2+(2y0sinθ+2pcosθ)t+y0-2px0=0

∴tAtB=■同理∴tCtD=■

MA·MB=MC·MD成立。

性質(zhì)6推廣(2)：對(duì)于橢圓或雙曲線，過任意點(diǎn)M，作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線與橢圓或雙曲線交于A、B和C、D，則MA·MB=MC·MD。