初中數學中常見的最值問題

摘要：在初中階段，最值問題一直是難點、重點。本文總結了初中階段常見的最值問題：二次函數中的最值問題，一次函數中的最值問題，線段和求最小值等，并結合實際問題進行闡述分析。

關鍵詞：最值；圖像；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0151

函數是中學數學中最重要的概念之一，在初中階段，一次函數和二次函數是討論的重點。在近幾年中考的壓軸題都是出在最值問題中，而在二次函數的解題中考生往往對最值問題是最頭疼。本文就二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最值問題，一次函數的最值問題，以及幾種常見的最值問題，以及最值的應用進行剖析。

一、一次函數中的最值問題

一次函數y=kx+b(k≠0)的圖像是直線，自變量x在全體實數范圍內，圖像沒有端點，它是沒有最大值或最小值的。但是，如果給定了自變量的取值范圍，那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在，最值是圖像的端點的縱坐標，圖像包括端點就有最值，不包括端點就沒有最值。

(1)如果n≤x≤m，圖像包括兩個端點，那么y=kx+b的圖像既有最大值也有最小值(如圖1)：當k＞0時，y最大=km+b，y最小=kn+b；當k＜0時，y最大=kn+b，y最小=km+b端點是圖像的最值點，端點的縱坐標是最值。

(2)如果x≥n，圖像只有一個端點，那么y=kx+b的圖像只有最小值或最大值(如圖2)：當k＞0時，y最小=kn+b；當k＜0時，y最大=kn+b。

同理，如果x≤m，那么y=kx+b的圖像只有一個最大值或最小值(如圖3)當k＞0時，y最大=km+b；當k＜0時，y最小=km+b。。

(3)如果n＜x＜m，圖像不包括端點，那么y=kx+b的圖像既沒有最大值也沒有最小值。

常見到的實際問題可以用這種方法解決：

例1. 某公司在A、B兩地分別有一種機器17臺和15臺，現在運往甲地18臺、乙地14臺。從A、B兩地運往甲、乙兩地的費用如下表；

(1)如果從A地運往甲地x臺，求完成以上調運所需總費用y(元)關于x(臺)的函數解析式；

(2)若公司請你設計一種最佳調運方案，使總的費用最少，則該公司完成以上調運方案至少需要多少費用？為什么？

分析：因為費用和x之間是明顯的一次函數，而且由于送往各地的機器數量是整數，所以x取值范圍不會是全體實數，所以是上述的第一種情況。我們可以求自變量的取值范圍，找端點從而找到最值。

解：(1)總費用y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300

⑵由x≥017-x≥018-x≥0x-3≥0∴3≤x≤17

∵k=500＞0，

∴y隨x增大而增大，當x取最小值時，y有最小值。

∴x=3時，y最小值=500×3+13300=14800(元)

所以該公司完成以上調運方案至少需14800元運費。

調運方案為：由A地運往甲地3臺，運往乙地14臺；由B地運往甲地15臺。

二、二次函數中的最值問題

二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像是拋物線，二次項系數a的符號決定了圖像的開口方向，圖像的頂點坐標是(-■，■)，對稱軸是直線x=-■。

1. 二次函數在自變量x取任意實數時的最值：

(1)當a>0時，拋物線開口向上，函數在頂點處取得最小值，最小值是頂點的縱坐標■，圖像無最大值；

(2)當a<0 時，拋物線開口向下，函數在頂點處取得最大值，最大值是■，圖像無最小值。

2. 當自變量x在某個范圍內取值時，函數的最值問題就要看圖像了，二次函數在自變量的取值范圍內，對應的圖象是拋物線上的一部分，那么最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值。

當m≤x≤n時，

(1)若頂點的橫坐標(或對稱軸)x=-■在自變量的取值范圍內， 即m≤-■≤n

當a>0，拋物線開口向上，頂點是圖像的最低點，頂點的縱坐標即是函數的最小值。圖像的兩個端點中(當x=m,x=n時)，哪個端點更高，哪個端點的縱坐標就是最大值。

當a<0，拋物線開口向下，頂點是圖像的最高點，頂點的縱坐標即是函數的最大值。圖像的兩個端點中(當x=m,x=n時)，哪個端點更低，哪個端點的縱坐標就是最小值。

(2)若頂點的橫坐標(或對稱軸)x=-■不在自變量的取值范圍內，

即-■≤m≤n，或m≤n≤-■時，二次函數在自變量的取值范圍內，對應的圖象是拋物線上的一部分，y隨著x的增大而增大，或者y隨著x的增大而減小。那么，最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值。如圖：

例2. 當時-2≤x≤2，求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值。

分析：作出函數在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低點，由此得到函數的最大值、最小值及函數取到最值時相應自變量x的值。

解：作出函數的圖象。

當x=1時，y最小=4,當x=-2時，y最大=5。

在實際生活中，我們也會遇到一些與二次函數有關的問題：

例3. 某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函數m=162-3x，30≤x≤54。

(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數關系式；

(2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？

解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤為(x-30)元，

那么m件的銷售利潤為y=m(x-30)，又m=162-3x。

∴y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860，30≤x≤54。

(2)由(1)知對稱軸為x=42，位于x的范圍內，另拋物線開口向下

當x=42時，ymax=-3×422+252×42-4860=432

當每件商品的售價定為42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元。

三、兩條線段的和最短

例4.如圖，MN是圓O的直徑，MN=2，點A在圓O上，弧AN的度數為60°，點B為弧AN的中點，P是直徑MN上的一個動點，求PA+PB的最小值。

分析：這是兩個定點一個動點的問題，和圓的知識相綜合。在圓上取A關于MN的對稱點C，連接AC交MN于P，因為在MN上任取其他點Q時，在⊿ACP中，AQ+QC>AC，所以這時PA+PB最短。

四、動點產生的最值

例5. 如圖，在半徑是5的圓O中，弦AB=8，點C在AB所對的優弧上運動。連接AC，BC，求△ABC的最大面積。

分析：求△ABC的面積，先找到三角形的底和高。底是弦AB,很明顯是不變的，高是C點到AB的距離，隨著動點C的運動先增大后減小，所以當C離AB的距離最大時，三角形的高最大，三角形的面積就最大。

解：當C運動到優弧AB的中點C′時，△ABC的面積最大。

連接C′O交AB于D，連接OB，

∵C′是弧AB的中點，C′D過圓心

∴C′D⊥AB，AD=BD=4

在RT△BOD中，OB=5，

∴AD=3

∴C′D=3+5=8

∴△ABC的最大面積=■AB×C′D=32

作者簡介：李賀，任教于內蒙古包鋼實驗中學，中學一級教師，在一線從事教學工作12年。