趣題巧解點石成金

秦琦

摘 要：克萊因曾說：“在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活，試圖回答有關人類自身存在提出的問題。”我們在教育教學中不能淡化傳授數學精神的意識，要始終堅持不僅教給學生知識，而且注重在知識的潛移默化中讓學生領悟數學精神，感悟數學文化。

關鍵詞：數學教學； 趣題巧解

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2014）12-051-001

數學的抽象性、嚴密性和應用的廣泛性常常會使學生不理解，甚至望而卻步。有些抽象、枯燥的數學知識對于學生來說，就像是一顆顆頑石攔在他們面前，學生只能避讓或繞道而行。

蘇教版數學五年級下冊“最大公因數和最小公倍數”是非常有趣的知識，通過書本的學習，學生觀察概括、探索并理解了公倍數、最小公倍數的含義，掌握了求兩個數的最小公倍數的方法。學生除了課堂上書本中的知識，更希望汲取更多的知識養分。在此基礎上，筆者大膽設想上一節思維訓練課《有趣的公倍數》，決定打破以往固有的“非此即彼”的思維方式，堅定“一課一得”的目標。不僅僅著重于知識點的講授，而在于對“同余問題”的深刻理解和數學思維的強化訓練，以及對數學興趣的培養。

一、趣題——迸發思維火花

在思維訓練課中習題是重要組成部分，老師選擇什么樣的題目，是學生對所學知識的實踐應用，是促進學生拓寬知識面，發展思維的重要手段。在這節數學課中，筆者結合歷史故事“韓信點兵”作為問題主線設計了一系列遞進式數學問題。第一層次——基本“同余”問題。“營地士兵六百有余，先分七路縱隊站好，結果多3人，改成九路縱隊，結果還是多3人。營地的士兵至少有多少人？”通過幾次追問讓學生理解題意，“如果把這些士兵分成七路縱隊沒有剩余，那么說明士兵人數是7的——？”“如果分成九路縱隊也沒有剩余，那么又說明什么呢？”“如果分成七路縱隊沒有剩余，分成九路縱隊也沒有剩余，那么士兵人數就是——（7和9的公倍數）。”第二層次——復雜“同余”問題。“一隊士兵隔墻站隊，每三人站成一排，最后一排少一人。每五人站成一排，最后一排少三人。這隊士兵至少有多少人？”這次的同余并不是那么容易發現的。第三層次——“同少”問題。“士兵數量不超過80人，每6人站一排，最后剩4人；每9人站一排，最后一排少了2人。士兵最多有多少人？”這也是同余問題的一種題型，只是平均分后不是剩余而是缺少。

二、趣聞——豐富知識內涵

數學閱讀是培養學生數學素養的有效途徑之一，一堂課的教學時間是有限的，而數學閱讀不只包括對數學教材的閱讀，還包括對與數學有關的科普知識及課外材料的閱讀，因此教師在課堂上必須注重閱讀延伸，提升學生的數學素養。這節課可以結合公倍數的知識引出《孫子算經》中的經典數學題——“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？”并透過這類問題向同學們介紹宋朝數學家秦九韶。從《孫子算經》的“物不知數”題到秦九韶的“大衍求一術”，我國古代數學家對一次同余式的研究，在世界數學史上取得了輝煌的成就。相同的理論，西方晚了五百多年。

在這些介紹和了解中，學生自然感悟到每一個數學規律的發現，定理的歸納都是一部數學發展史，它們都經歷了漫長的歷史時期，其間的每一項成就都是以無數次的挫折和失敗為代價，無不包含著數學家對數學刻苦鉆研、勇于探索，并為之奮斗終身的精神；無不包含著數學家對數學發展所起的巨大推動作用。

三、趣解——提升數學素養

在這節課中就“解題”本身，筆者在設計中強調了以下幾點：第一，加深對同余問題的理解。從抽象、邏輯上理解這種類型的習題，而不能流于直觀化、表面化（而這正是大多數學生的問題所在）。本節課為了讓學生了解《孫子算經》中“物不知數”題的經典解題方法，教師特意設計了遞進式的習題，通過多思考、多分析，并向學生展示思考過程，鼓勵學生從不同的角度去觀察問題，分析問題。第二，學會對概念與公理的運用，形成本能。如果學生能潛意識運用知識和解題方法，這將會培養學生深刻理解問題本質，從基本假設出發建立理論體系的能力，這些對學生日后的學習發展將有不可估量的影響。第三，分散難點，讓學生樂于思維。比如較難的同余問題，可以引導學生找到關鍵句，并把它轉化成容易理解的基礎同余問題。“一隊士兵隔墻站隊，每三人站成一排，最后一排少一人。每五人站成一排，最后一排少三人。這隊士兵至少有多少人？”其中兩個條件可以轉化成同一句話“最后一排多2人”。這樣把較難的問題根據學生的實際情況，適當分解，減緩坡度，也就創造了條件讓學生樂于思維。在課上筆者還向學生介紹《孫子算經》這本古代數學專著，里面記載著我們熟悉的“雞兔同籠”題，還有“物不知數”題。不僅引導學生解答有關公倍數的難題，還出示了明代數學家程大位寫的詩歌——“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。”這是這類問題的另一種解法，學生們非常感興趣。部分學生在理解的基礎上還會運用此類方法解答其他“物不知數”題——“今有物，二百至四百間，三三數之，剩二，七七數之，剩三，八八數之，剩五，問物幾何？”

雖然思維訓練課的內容是課本知識的深入拓展，題目難度增加，學生解題能力有差異，有不少學生心有余而力不足，但是他們并未因此而輕易放棄，部分學生鉆研難題的積極性和學習氛圍感染了班級里更多的學生，他們都愿意投入到探索研究中來。學生不僅通過解決難題的過程獲得所需的數學知識、思想方法，更培養了他們勇于探索、勇于創新的數學精神。這種精神，作為數學知識深處的本質力量，已經被激發出來，變為“點石成金”的神奇“催化劑”。