命題邏輯中推理有效性的判定

何剛

亞里士多德創立邏輯學科以來，邏輯與推理就密不可分，亞里士多德說：“一個推理是一個論證，在這個論證中，有些東西被規定下來，由此必然地得出一些與此不同的東西。”[1]可以說，這段話是歷史上最初的對于推理的定義。它描述的是一個有三部分組成的推理結構：第一部分是前提（被規定下來的東西），第二部分是結論（一些與此不同的東西），第三部分是從前提到結論的推理過程（必然地得出）。我們可以用現代邏輯的方法刻畫出亞氏的推理結構。

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這樣的推理結構有一種必然得出的性質。雖然沒有明確說出什么是“必然地得出”，但是從他的論述可以看出是符合三段論的有效式，從真前提一定得出真結論。正確的形式下，真前提必然的出真結論。這正反映了演繹推理的實質。邏輯與推理相關，推理與演繹相關，演繹與必然性相關，這都說明了邏輯和推理的有效性的關系。

邏輯是關于思維形式及其結構的學科，那么思維形式結構可以保證總真前提必然得出真結論，在這種邏輯形式中前提真可以保證結論的真。我們用命題邏輯的方法來刻畫思維形式的這種有效性或保真性，即通過一定的判定方法可以確定一個推理是命題邏輯系統中是否為重言式。我們知道，一個推理的形式可以刻畫為一個蘊含式，蘊含式是在真值的層面上反映推理的過程，前件是前提的合取，后件是結論。我們由推理有效性的定義可知，一個命題推理是有效的，當且僅當不可能出現前件真而后件假的情況，即這個推理的形式是重言蘊涵式。所以，判定一個推理是否有效，在語義層面上，就是判定它的真值形式是否為一重言式。這樣的話，命題推理有效性的判定，就轉化為對推理真值形式是否為重言式的判定。下面就從真值形式的角度，分別介紹真值表方法和簡化真值表在判定推理有效性中的使用方法。邏輯作為一門工具性學科，理論的把握和技能的訓練同樣重要，這四種判定方法就是作為一種判定推理有效性的技術手段，對于邏輯應用的深入具有重要意義。

一、真值表方法

真值表方法是從真值形式的層面來判定一個推理的有效性，適用范圍是命題邏輯中的推理形式，分析的基本單元是命題，通過給命題以不同的真值賦值，運用邏輯聯結詞的邏輯性質來刻畫推理的有效性。運用真值表方法首先需要構造一個推理的真值形式，構造真值形式的步驟是：第一：確定命題變項的數量，就是在一個推理形式中有多少不同的原子命題；第二，通過表格列出命題變形的真值組合情況，任一命題變項的真值情況有兩種，對于n個命題變項的取之情況有2n組，相應的列出的真值表中的真值組合情況就有2n行；第三，運用邏輯聯結詞的邏輯性質，相應于命題變項的各組取值，計算出真值形式的真值，真值形式的取值和命題變項真組合的情況是對應的，有多少種命題變項的真值組合情況就有多少種真值形式的組合情況；第四，做出完整的真值表，查看真值表中的最后一列即真值形式的取之情況，如果全部為真，則這個推理形式是重言式。

二、簡化真值表

真值表方法對于命題邏輯中的推理是一種能行的判定方法，就是說對于任一真值形式，我們都可以畫出真值表來判定這一真值形式是重言式、矛盾式或可真式。真值表方法作為一種能行的判定方法，對于所有命題邏輯中的推理都可以判定其有效性。但是在日常生活和科學研究的推理中，有的推理過程冗長，推理中命題變項的數目可能很多，在這樣的推理中，真值表方法也是可以的判定的，但是在技術操作的層面上過不夠簡便，例如如果出現10個命題變相，相應的真值表就有1024行，操作的現實性非常小。而簡化真值表是一種技術上較為簡便的能行判定方法，也成為歸謬賦值法，主要用于判定一真值形式是否為重言式。而對于真值形式的矛盾式和可真式的判定，簡化真值表就沒有真值表那樣的適用范圍。而對于判定命題邏輯中推理的有效性而言，簡化真值表方法或歸謬賦值法是一種能行的判定方法，運用歸謬賦值法可以判定推理的有效性。

對于直接判定推理形式的方法，可能過程比較冗長，技術操作難度大，我們可以通過間接的方法來判定推理的有效性。“歸謬賦值法的基本思想是這樣的：為了判定一真值形式是否為重言式，我們可以假定它不是重言式，即至少有一組賦值似的該真值形式的取值為假，一句這個假設來分別給各個命題變項賦值。在賦值的過程中，如果對一個命題變項即賦真值又賦假值，違背了邏輯思維規律的同一律，這說明原來的假設是不成立的，即所要的判定的真值形式不可能為假，因此，只能是重言式，如果在賦值過程中并沒有矛盾出現，也就說明可以找到一組賦值使得該假設為真，即該真值形式不是重言式。”[2]

推理有效性的判定對于邏輯具有重要意義。前面已經指出，在命題邏輯中，命題推理的真值形式是一蘊含式，因此在真值形式的判定中，判定蘊含式是否為重言式具有特別重要的地位。

三、二者的比較

本文主要介紹了真值表方法和簡化真值表方法在判定命題邏輯中推理有效性的運用，當然，還有其他的方法也可以判定推理的有效性，比如范式方法、真值樹方法等等。真值表方法和簡化真值表方法在邏輯推理有效性的判定中各有所長，真值表方法作為一種能行的判定命題邏輯中推理有效性的方法，可以判定所有的真值形式是否為重言式、矛盾式、和可真式，而簡化真值表方法雖然也是一種能行的判定推理有效性的方法，在技術操作層面比較便捷可行，但是在適用范圍上不及真值表，只能判定任一推理形式是否為重言式，不能判定是否為矛盾式和可真式。真值表方法和簡化真值表方法是命題邏輯中推理有效性判定基本方法，對于這些理論和技術的掌握對于邏輯及其推理有效性會有更深層次的理解。

【參考文獻】

[1]陳慕澤，于俊偉.數理邏輯基礎---一階邏輯與一階理論[M].北京：中國人民大學出版社，2003

[2]郭橋，資建民.大學邏輯導論[M].北京：人民出版社，2003

[3]陳波.邏輯學導論[M].北京：中國人民大學出版社，2006

[4]亞里士多德.工具論[M].北京：中國人民大學出版社，2003

【注釋】

[1]Aristotle.The works of Aristotle.vol.1.100a25---27.

[2]陳慕澤，于俊偉.數理邏輯基礎---一階邏輯與一階理論[M].北京：中國人民大學出版社，2003：P34