反例在高等數(shù)學教學中的應用

于慧 劉勇

摘 要：美國學者B.R.蓋爾鮑姆等人曾指出：“一個數(shù)學問題用一個反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇。”這個比喻，形象地說明了“反例”。在教學中恰當?shù)貞梅蠢梢詭椭鷮W生全面、準確地理解高等數(shù)學中的一些概念及定理，對學生理解概念、糾正錯誤、開拓思維、掌握定理起著很大的作用。

關鍵詞：反例；高等數(shù)學；教學；應用

回顧數(shù)學的發(fā)展史，反例具有重要的地位，重要的反例往往會成為數(shù)學殿堂的基石。如在19世紀以前，數(shù)學界長期認為連續(xù)函數(shù)除個別點外，總是處處可導。但是，后來數(shù)學家們創(chuàng)造出了很多反例，使他們清醒地認識到了分析基礎嚴格化的必要性和重要性，推動了微積分理論的發(fā)展。本文將根據(jù)高等數(shù)學實際教學情況，結合作者多年的教學經(jīng)驗，闡述反例在高等數(shù)學中的應用。

一、利用反例加深學生對數(shù)學概念的理解

在講數(shù)列極限的定義時，由于概念比較抽象，學生很難全面掌握。這時不妨給出表面相似而實質(zhì)卻根本不同的反例進行區(qū)別和判斷，從而使學生真正掌握概念的實質(zhì)。

例1：判斷以下兩個敘述是否與極限的定義等價。

（1）有無窮多個ε>0，對每一個ε，存在N（ε），當n>N時，有|an-a|<ε；

（2）對任意正數(shù)ε，有無窮多個an，使|an-a|<ε。

敘述（1）忽略了ε的最本質(zhì)的屬性任意小的正數(shù)。教學中可舉出反例{an}：an=1+（-1）n加以說明。

敘述（2）對任意正數(shù)ε，雖然有無窮多個an，使|an-a|<ε成立，但它忽視了對每個ε>0，都必須存在某個自然數(shù)N，即數(shù)列{an}的某一項aN，從項aN以后的所有項都必須滿足|an-a|<ε?？膳e出反例{an}={1，■，1，■，1，■，…，1，■，…}加以說明。

因此，這兩個敘述都與數(shù)列極限的定義不等價。通過反例，從反面進一步深刻理解了數(shù)列極限定義中的ε與N在定義中的作用與意義和要求，從而理解和掌握定義的實質(zhì)。

例2：為確定連續(xù)、可導、有連續(xù)導數(shù)三個概念，可舉出以下四個問題。

（1）f（x）在x=x0處可導，則f（x）在x=x0處是否連續(xù)？

（2）f（x）在x=x0處連續(xù)，則f（x）在x=x0處是否可導？

（3）f（x）在x=x0處可導，則f（x）在x=x0處是否有連續(xù)的導數(shù)？

（4）f（x）在x=x0處可導，則f（x）在x=x0的鄰域內(nèi)是否連續(xù)？

對（1）的回答是肯定的。對（2）（3）（4）回答是否定的，要說明原因，只需舉出反例即可。

對問題（2）可考慮反例：f（x）=|x|在x=x0處連續(xù)但不可導。

對問題（3）可考慮反例：f（x）=x2sin■，x≠00，x=0，在x=0處可導但導數(shù)不連續(xù)。

對問題（4）可考慮反例：f（x）=x2，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，f（x）在x=0處可導，但在0點任何鄰域內(nèi)，除0點外都不連續(xù)。

例3：在講無窮大量與無界函數(shù)時，由于兩個概念相近，學生容易混淆，這時可利用反例：f（x）=ncosx讓學生認識到無窮大量必是無界量，但無界量不一定是無窮大量。

二、利用反例幫助學生理解定理的條件與結論

如學習羅爾定理時，可舉以下例子。

例4：設函數(shù)f（x）滿足下列三個條件：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間內(nèi)（a，b）可導；

（3）在端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），則至少有一點ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0。

羅爾定理的條件是充分條件，不是必要條件。如果三個條件滿足，結論一定成立；否則，結論可能成立，也可能不成立。

f（x）=x，0≤x<10，x=1在[0，1]上不滿足條件（1），在（0，1）上也不存在點ξ，使f′（ξ）=0；

f（x）=|x|在[-1，1]上不滿足條件（2），在（-1，1）上也不存在點ξ，使f′（ξ）=0；

f（x）=x在[0，1]上不滿足條件（3），在（0，1）上也不存在點ξ，使f′（ξ）=0。

以上三例是不滿足羅爾定理三個條件之一，結論不成立的反例。

對于不全滿足三個條件但能找出導數(shù)為零的例子看下面的反例。

f（x）=x2在[-1，2]上不滿足條件（3），在（1，2）上也存在點ξ，使f′（ξ）=0。

從上述的舉例可以看出，深入挖掘反例功能，并在教學中恰當運用，可以激發(fā)學生的學習興趣，糾正和辨析錯誤認識，使學生的創(chuàng)新思維能力得到發(fā)展。

參考文獻：

[1]明清河.數(shù)學分析的思想與方法[M].濟南：山東大學出版社，2005.

[2]徐晶.高等數(shù)學教學中的反問題及反例[J].江蘇教育學院學報，2005（25）：78-81.

[3]朱連燕.反例在高等數(shù)學中的應用[J].職校論壇，2013（35）：193-194.