數(shù)學思想方法教學的三個著力點

劉明讓

【摘要】 數(shù)學思想方法教學的三個著力點：深入研究教材，挖掘教材背后蘊含的數(shù)學思想方法；細化教學過程，有意識地落實數(shù)學思想方法；突出數(shù)學思想方法在解題教學中的指導與統(tǒng)攝.

【關鍵詞】 數(shù)學思想方法；數(shù)學教學；著力點

數(shù)學思想方法是指支配學習者如何學習、如何思考、如何解決問題的一套程序.這套程序支配的不是外在的數(shù)學符號，而是學生自己的思維過程，因而從心理學角度看，它屬于策略性知識范疇，即數(shù)學認知策略. 數(shù)學思想方法蘊含于數(shù)學知識與技能之中，需要結合數(shù)學知識與技能的學習來進行教學. 然而中學數(shù)學課程內容的編排一般是沿知識的縱方向展開的.大量的數(shù)學思想方法只是蘊涵在數(shù)學知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結.這就產(chǎn)生了如何在數(shù)學課中進行數(shù)學思想方法教學的問題.下面筆者結合自己的教學實踐就數(shù)學思想方法教學的三個著力點作以探討.

一、深入研究教材，挖掘教材背后蘊含的數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法是前人探索數(shù)學真理過程的積累，但數(shù)學教材并不是這種探索過程的真實記錄，恰恰相反，教材對完美演繹形式的追求往往掩蓋了內在的數(shù)學思想方法，因此我們必須深入分析教材，挖掘教材背后蘊含的數(shù)學思想方法，使教材發(fā)揮更大的學習功能.

這樣，對初中階段絕對值概念及其反映的數(shù)學思想方法就有了一個完整的認識.于是教師對絕對值概念的教學可以重點地進行如下兩方面的設計：引入絕對值概念時，有意識地滲透數(shù)形結合、分類討論的思想方法； 運用絕對值概念解題時，運用分類討論、數(shù)形結合等常用的數(shù)學思想方法來指導學生的思考，讓學生對絕對值概念及其反映的數(shù)學思想方法不斷地得到領悟.

又如“一元二次方程”這一章，化歸思想是本章的主導思想.一元二次方程化歸為一元一次方程來解，無理方程化歸為有理方程來解，分式方程化歸為整式方程來解，高次方程化歸為一元一次方程或一元二次方程來解，二元二次方程組化歸為一元二次方程或二元一次方程組來解.還有整體思想，根與系數(shù)關系的應用就體現(xiàn)了整體思想. 這章還滲透了配方法、消元法、降次法、換元法等數(shù)學方法.教師對教材中數(shù)學思想方法理解的深度和廣度，直接影響著教學方法的設計，決定著教學的成敗，所以我們必須把研究教材放在第一位，全面把握教材，理解教材背后蘊含的數(shù)學思想方法，以制訂出良好的教學策略.

二、細化教學過程，有意識地落實數(shù)學思想方法

1. 在數(shù)學概念、定理的教學中，有意識地落實數(shù)學思想方法

數(shù)學概念、定理本身就蘊含者數(shù)學思想方法，教學時要有意識地落實.所謂有意識地進行數(shù)學思想方法教學，就是對數(shù)學概念、定理教學的過程進行精心設計，將凝結在數(shù)學概念、定理中的數(shù)學家的觀察、試驗、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動打開，并設計一定的載體（如教學情境、教師講解、學生探究和反思、變式訓練等），用以展開這些數(shù)學思維活動，從而使數(shù)學的思想方法、思維方法及研究方法得以滲透和提煉，充分地向學生展現(xiàn)如何思考的過程，使學生領悟其中的數(shù)學思想方法.

例如，在教學“圓周角”一節(jié)時，教師有意識地設置下面的問題情境，來滲透數(shù)學思想方法.

問題1：請你畫出同一條弧對應的圓心角及圓周角的基本圖形.

設計意圖：訓練學生畫圖能力，滲透分類的思考方法，讓學生通過畫圖（如圖1、圖2、圖3）觀察到：一條弧對應一個圓心角，但一條弧對應著無數(shù)個圓周角，培養(yǎng)學生的觀察能力.

問題2：一條弧所對的圓心角與它所對的圓周角有什么大小關系？

設計意圖：讓學生動手測量、觀察，發(fā)現(xiàn)它們之間的關系，并得出猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想的數(shù)學思維方法.

問題3：根據(jù)圖1，請說一說你的思路：如何證明上面得到的猜想？

問題4，對于圖2、圖3的情況，請你獨立證明，證明后與同伴交流.

設計意圖：有意識地滲透轉化、類比的數(shù)學思想方法.

事實上，中學數(shù)學概念、定理在教科書中往往是在抽象意識、化歸意識、分類、一般化思想指導下設計的，教學時，要把這些數(shù)學思想方法的精神實質傳遞給學生，讓學生在探索思考的過程中獲得對數(shù)學思想方法的體驗和領悟，進而形成運用這些數(shù)學思想方法進行思考的意識和習慣.

2. 重視歸納總結，落實數(shù)學思想方法的概括和提煉

數(shù)學思想既來源于數(shù)學基礎知識與基本方法，又高于數(shù)學基礎知識與基本方法，它指導知識與方法的運用，能使知識向更深更高層次發(fā)展. 在數(shù)學課上，由于能力、心理發(fā)展的限制，學生往往只注意了數(shù)學知識的學習，而忽視了聯(lián)結這些知識的觀點，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法與策略.即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”“似有所悟”的狀態(tài).所以在反復滲透數(shù)學思想方法的同時，要引導學生進行對數(shù)學思想方法進行歸納總結.例如，涉及比較大小的問題，可這樣提問：“到今天為止，比較兩個數(shù)的大小或兩個代數(shù)式的大小，你會哪些方法了？”來引導學生進行歸納總結.在課堂小結中，既要讓學生小結數(shù)學的基礎知識與技能，又要讓學生小結基礎知識與技能背后蘊含的數(shù)學思想方法.例如，“同底數(shù)冪的乘法（1）”這節(jié)課的小結可這樣設計：今天我們發(fā)現(xiàn)、歸納、運用了一個新的法則，請同學們思考：

（1）法則的內容是什么？

（2）我們是怎樣發(fā)現(xiàn)和歸納這個法則的（從特殊到一般、觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)等數(shù)學思想方法）？

（3）在運用法則過程中要注意什么？

通過概括和提煉，使學生對數(shù)學思想方法的理解由“朦朦朧朧”到逐漸明朗.

三、突出數(shù)學思想方法在解題教學中的指導與統(tǒng)攝

1. 解題教學，不是搞題型訓練，更不是搞題海戰(zhàn)術，它的正確含義是要通過解題和反思活動，在解題的基礎上總結歸納解題方法，并上升到思想的高度. 學生學習數(shù)學思想方法一般來說可分以下三個階段：模仿形式階段；初步應用階段；自覺應用階段.

在模仿階段，教師應及時引導學生進行總結.如學生開始學習用換元法解分式方程時，對換元法的理解是按老師要求——設未知數(shù)、換元、解換元后的方程等解題步驟，這些解題步驟教師要引導學生進行總結.此時，學生是把換元法當做解題步驟來記憶，而未能體會出換元思想是數(shù)學中常用的思想方法.

在初步應用階段，教師應設計變式訓練，有意識地引導學生運用和反思數(shù)學思想方法，讓學生慢慢理解解題過程中所使用的探索方法和策略，并會概括總結出來.如換元法解分式方程，由題目注明要求用換元法解分式方程，到題目沒有注明換元法時，學生能主動地用換元法解方程.這說明學生對數(shù)學思想的認識已經(jīng)比較明朗，能夠初步應用.

隨著學生對數(shù)學思想方法深入地理解與應用，學生能依據(jù)題意，恰當運用某種思想方法進行探索，以求得問題的解決.

例如，對于解下列關于x的方程：

事實上，學生學習數(shù)學思想方法，是不可能一步到位的，應有一個相應的循序漸進、由淺入深和循環(huán)反復的過程.

2.充分發(fā)揮數(shù)學思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想與轉化功能，突出數(shù)學思想方法對解題的統(tǒng)攝與引領作用.

例如，對“簡單的二元二次方程組的教學”，教師在講每一道例題時，要從總體上把握住消元和降次這兩種數(shù)學方法，將其確立為解這類題的指導思想，并由此設計教學方法，促使學生明白，什么情況下可以考慮用消元法，如何運用消元的方法（代入、加減），什么情況下可以考慮用降次的方法，如何運用降次的方法（因式分解），這樣，學生在數(shù)學思想方法這一層次上，就能比較全面和確切地把握解二元二次方程組的解法.

又如，比較 | a | + | b | 與 | a + b | 的大小.

解這道題要分析數(shù)a，b，a + b的符號，如按常規(guī)，仍將a，b分別劃分為正數(shù)、負數(shù)和零，那么問題就有九種可能情況，顯然很繁雜，但如果引導學生將a，b的符號分為“同號”“異號”“至少一個為零”，那么問題就只有三種可能.由此，滲透分類思想的本質屬性，使學生領悟到分類思想方法的重要作用.

數(shù)學思想方法的形成絕不是一朝一夕可以實現(xiàn)的，必須日積月累、長期滲透才能逐漸為學生所掌握.學生通過對數(shù)學思想方法的反復學習和領悟，對數(shù)學思想方法的認識不斷提高，可以逐漸內化為自己的行動方式，這時就可以使他們對自己的學習過程、解決問題的過程以及解題時所采用的數(shù)學方法的合理性等進行自覺的、及時的調控.一旦學生的數(shù)學思想方法具備了這樣的水平，我們就可以說學生的思考達到了策略水平.

【參考文獻】

[1]邵光華.作為教育任務的數(shù)學思想方法[J].上海：上海教育出版社，2009 .