運用數學思想 提高學習效率

盧林山

【摘要】 在數學學習和數學教學中，我們能體會到許許多多的數學思想方法，它們對數學的學習起著“指路燈”的重要作用. 把它們從數學教學中抽象、概括出來，加深對這些數學思想的認識和理解，有助于學生快速而準確地解答數學問題，從而達到提高學習效率的目的.

【關鍵詞】 轉化；整體；分類討論；數形結合；提高

轉化思想、整體思想、分類討論思想和數形結合思想，是初中數學中應用最廣泛的四種基本思想.

一、轉化思想

在初中數學中，經常要運用轉化思想，這一思想是上述四種思想中應用最多且伴隨數學學習始終的重要思想. 轉化思想就是要化復雜為簡單，化未知為已知. 我們知道，一元一次方程的最簡形式是ax = b，因此解一元一次方程時，就要把所給的方程逐步地轉化為這種最簡的形式，其一般過程是去分母、去括號、移項、合并同類項，經過這四步以后，所給的方程就可轉化成一元一次方程的最簡形式，即ax = b的形式，此時只要再把系數化成“1”，便可得到方程的解. 同樣的道理，解二元一次方程組時，要先把不會解的二元一次方程組轉化成會解的一元一次方程. 為實現這種轉化，可運用代入消元法或加減消元法消去一元，得到一個會解的一元一次方程，解這個一元一次方程，即可求得一個未知數的值，把這個值代入二元一次方程組中的任意一個方程，便能求出另一個未知數的值，從而實現了解二元一次方程組的目的.

二、整體思想

在解答數學問題時，有時問題中會有多個未知數，在一定條件下，我們可以不求每個未知數的值，而只求出含有這些未知數的整體的值，或依據題意構造出一個整體，從而達到化難為易、化繁為簡的目的.這種有意識地放大觀察問題的視角，將要解決的問題看做一個整體，注重從全局著眼，全面地、整體地觀察、分析和思考問題的思想，就是整體思想.

1. 整體思想在計算中的應用

計算7300 - 619 - 1381時，可把減數619和1381構造成一個整體，容易看出它們的和是2000，從7300中減去這個和2000，便能簡便地求出其答案為5300，這相當于運用了加法的結合律. 也說明了我們從小學階段的早期就在運用整體思想這一數學武器.

2.整體思想在二元一次方程組中的應用

例 已知二元一次方程組3x + 4y = 13，4x + 3y = 8，求（x + y）的值.

解 兩個方程相加，得7x + 7y = 21，

即7（x + y） = 21，兩邊都除以7，得x + y = 3.

本題的解法沒有按照習慣上求x與y的和，先求x和y的值分別是多少，再求它們的和是多少，而為了求x與y的值，就要先解二元一次方程組這一思路來解，而是抓住了兩個未知數的系數的和相等這一特點，把x與y的和看做了一個整體，直接求出了這個整體的值，避免了繁瑣的解二元一次方程組，充分地顯示了整體思想在數學應用中的神奇作用. 三、分類討論思想

分類討論思想既是一種重要的數學思想，又是一種重要的解題策略，它貫穿于整個數學教學過程之中. 經常運用分類討論思想，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性和科學性，所以它在中學數學中占有十分重要的地位.

1. 分類討論思想在有關三角形計算中的應用

例 已知等腰三角形的周長是7厘米，它的兩條邊的長分別是a厘米、3厘米，求它的腰長和底邊長.

分析 已知中3厘米長的邊可能是腰，也可能是底邊，所以本題有兩種情況.

解 略.

2. 分類討論思想在絕對值化簡中的應用

例 化簡 |a + 3| + |7 - a|.

分析 有理數的絕對值可歸納為兩種情況：非負數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，因此本題應分四種情況.

解 當a + 3 ≥ 0且7 - a ≥ 0，即-3 ≤ a ≤ 7時，

原式 = a + 3 + 7 - a = 10.

當a + 3 ≥ 0且7 - a < 0，即a > 7時，

原式 = a + 3 + a- 7 = 2a - 4.

當a + 3 < 0且7 - a ≥ 0，即a < -3時，

原式 = -a - 3 + 7 - a = -2a + 4.

容易看出，a + 3 < 0且7-a < 0的情況是不存在的.

四、數形結合思想

數形結合的思想，就是將復雜或抽象的數量關系與直觀形象的圖形在方法上相互滲透，并在一定的條件下相互補充、轉化的思想，也就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形之間的相互轉化來解決數學問題的思想方法，或由數思形，或以形助數.用數形結合思想，可以化復雜為簡單，化抽象為形象，因此能使許多復雜問題迎刃而解且解法簡潔.

1. 數形結合思想在學習有理數中的應用

數軸是學習有理數時實現數形結合的最好工具，無論是相反數、絕對值，還是有理數大小的比較，都能借助數軸，運用數形結合思想，使學生深刻地理解并掌握這些知識，學生在學習絕對值和有理數大小的比較時，都能在數形結合思想的指引下，實現知識的遷移和內化.

2. 數形結合思想在解不等式中的應用

我們知道，不等式的解集是不等式中未知數的取值范圍，或比某一個數大，或比某一個數小，有時還會包括相等關系，而在數軸上，右邊的數大于它左邊的數，因此每個不等式的解集都可以在數軸上表示出來，這樣我們就能對不等式的解集有了更加形象而清晰的認識，尤其是在解不等式組時，運用數形結合的思想，利用數軸表示不等式的解集就顯得更加簡潔明了，更容易快速而準確地確定不等式組的解集，并能防止錯誤的發生.

數學思想在數學中的地位非常重要，在我們的日常教學中要高度重視數學思想方法的滲透，使學生在每天的學習中感受數學思想方法的神奇，下定掌握數學思想的決心，從而大幅度地提高自己的數學水平.