“不等式”中的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展的原動(dòng)力，它不僅涉及數(shù)學(xué)本體的發(fā)展規(guī)律，也涉及思維過(guò)程的滲透和聯(lián)系，了解相關(guān)的思想方法有助于我們將數(shù)學(xué)知識(shí)“學(xué)活”、“學(xué)懂”、“學(xué)深”. 本章中就蘊(yùn)藏著一些數(shù)學(xué)思想方法，理解它們，你會(huì)透過(guò)一個(gè)全新的視角來(lái)看待你所學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 現(xiàn)通過(guò)以下幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明.

一、 類比思想

類比是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法. 類比相關(guān)的舊知識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)，會(huì)讓新知識(shí)學(xué)得更易、更深、更透. 在本章的學(xué)習(xí)中多次運(yùn)用類比的思想方法，如不等式的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)類比了等式的基本性質(zhì)；一元一次不等式的定義及解法類比了一元一次方程的定義及解法；列一元一次不等式解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題類比了列一元一次方程解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等. 通過(guò)類比找出新、舊知識(shí)的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，在類比的過(guò)程中加以區(qū)別，這樣學(xué)起來(lái)既簡(jiǎn)單又迅速，還能達(dá)到準(zhǔn)確掌握新知識(shí)的目的.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

求不等式的解集的過(guò)程是解數(shù)量不等關(guān)系的過(guò)程，用數(shù)軸表示不等式（組）的解集的過(guò)程是將數(shù)量不等關(guān)系圖形化的過(guò)程，在此“數(shù)”與“形”要巧妙結(jié)合. 能理解“形”對(duì)于“數(shù)”的方便，你可以達(dá)到事半功倍的效果.

【點(diǎn)評(píng)】本題中不等式組的解集借助數(shù)軸這一“形”的工具來(lái)表示，非常方便和直觀，數(shù)形結(jié)合能幫助我們準(zhǔn)確和快速地寫出不等式組的解集.

例3 解不等式：x+1≤2.

【分析】若能理解絕對(duì)值的幾何意義：數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么便可將此不等式轉(zhuǎn)化為-2≤x+1≤2，進(jìn)而解決問(wèn)題.

【點(diǎn)評(píng)】看似一個(gè)沒(méi)有解決過(guò)的絕對(duì)值不等式，能利用數(shù)軸輕易地解決，可以看出數(shù)形結(jié)合的好處. 當(dāng)然，本題也可以利用分類討論解決.

三、 分類討論的思想

某些特殊的不等式，看似超出了我們所學(xué)的范圍，但稍加思考，就能發(fā)現(xiàn)可以采用分類討論的方法解決.

【點(diǎn)評(píng)】本題并沒(méi)有求x和y的值，而是用k表示了x+y的值，將x+y看做是一個(gè)整體解決了問(wèn)題.

五、 模型思想

所有的實(shí)際問(wèn)題離不開(kāi)模型，不等式也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的模型之一，遇到含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，建立不等式（組）模型，可以順利地解決此類問(wèn)題.

例7 畢業(yè)了，孔明同學(xué)準(zhǔn)備利用暑假賣報(bào)紙賺取140～200元錢，買一份禮物送給父母. 已知：在暑假期間，如果賣出的報(bào)紙不超過(guò)1 000份，則每賣出一份報(bào)紙可得0.1元；如果賣出的報(bào)紙超過(guò)1 000份，則超過(guò)部分每份可得0.2元.

（1） 請(qǐng)說(shuō)明：孔明同學(xué)要達(dá)到目的，賣出報(bào)紙的份數(shù)必須超過(guò)1 000份.

（2） 孔明同學(xué)要通過(guò)賣報(bào)紙賺取140～200元，請(qǐng)計(jì)算他賣出報(bào)紙的份數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi).

【點(diǎn)評(píng)】本題在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題來(lái)解決. 當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中存在不等關(guān)系時(shí)，可根據(jù)不等關(guān)系建立不等式（組）模型，通過(guò)解不等式（組）來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省南京市二十九中教育集團(tuán)初級(jí)中學(xué)）