解不等式（組）中的常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析

在解決不等式（組）的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要謹(jǐn)防犯以下常見(jiàn)錯(cuò)誤：

一、 誤用不等式性質(zhì)

例1 （2013·山東聊城）不等式組3x-1>2， ①

4-2x≥0 ②的解集在數(shù)軸上表示為（ ）.

【錯(cuò)解】由①得3x>3，解得x>1；由②得

-2x≥-4，解得x≥2. 所以，選B.

【分析】由-2x≥-4，兩邊同除以-2，不等號(hào)應(yīng)改變方向，得x≤2，所以不等式組的解集為1

【點(diǎn)評(píng)】解答本題時(shí)，不等式兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變.

二、 弄錯(cuò)特殊解

例2 （2013·山東菏澤）解不等式組

3（x-1）<5x+1，

≥2x-4，并指出它的所有的非負(fù)整數(shù)解.

【錯(cuò)解】由3（x-1）<5x+1，解得x>-2；

由≥2x-4，解得x≤.

所以原不等式組的解集是-2

∴原不等式組的非負(fù)整數(shù)解為1，2.

【分析】錯(cuò)解以為非負(fù)整數(shù)解即正整數(shù)解，遺漏了符合要求的0，正確答案為x=0，1，2.

【點(diǎn)評(píng)】由本題的解答可見(jiàn)，準(zhǔn)確理解有關(guān)概念是正確解題的前提.

三、 忽視實(shí)際情況

例3 （2013·浙江臺(tái)州）某校班級(jí)籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場(chǎng)得3分，負(fù)1場(chǎng)得1分. 如果某班要在第一輪的28場(chǎng)比賽中至少得43分，那么這個(gè)班至少要?jiǎng)俣嗌賵?chǎng)？

【錯(cuò)解】設(shè)這個(gè)班至少要?jiǎng)賦場(chǎng)，則負(fù)（28-x）場(chǎng)，由題意得，3x+28-x=43，解得x=7.5.

答：這個(gè)班至少要?jiǎng)?.5場(chǎng).

【分析】應(yīng)用題是實(shí)際生活的反映，它的答案要符合實(shí)際生活情況，要?jiǎng)?.5場(chǎng)是不符合實(shí)際的. 本題若用方程求解，應(yīng)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求滿(mǎn)足要求的最小正整數(shù)解：要?jiǎng)俚膱?chǎng)數(shù)應(yīng)為大于7.5的最小整數(shù)，即至少要?jiǎng)?場(chǎng). 當(dāng)然，本題最好應(yīng)用不等式來(lái)求解：

設(shè)這個(gè)班至少要?jiǎng)賦場(chǎng)，則負(fù)（28-x）場(chǎng)，由題意得3x+28-x≥43，解得x≥7.5.

∵x取最小的整數(shù)，∴x=8.

答：這個(gè)班至少要?jiǎng)?場(chǎng).

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)同一個(gè)問(wèn)題可以用不同的模型來(lái)解決時(shí)，選擇合理的數(shù)學(xué)模型是正確解題的關(guān)鍵.

四、 考慮不周

例4 （2007·山東濰坊）幼兒園把新購(gòu)進(jìn)的一批玩具分給小朋友. 若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個(gè)小朋友分到玩具，但不足4件. 這批玩具共有______件.

【錯(cuò)解】設(shè)有x個(gè)小朋友，這批玩具共有y件，則有：y=3x+59，

1≤y-5x≤3.即1≤3x+59-5x≤3，解得28≤x≤29. 又x為整數(shù)，所以x=28或29，y=143或146. 即這批玩具共有143或146件.

【分析】在第二種分法中，只有（x-1）個(gè)小朋友每人分到了5個(gè)玩具，還有1人不足4件，由此第二個(gè)不等式是錯(cuò)誤的，正確的不等式組應(yīng)該是：y=3x+59，

1≤y-5（x-1）≤3.即1≤（3x+59）-5（x-1）≤3，解得30.5≤x≤31.5. 又x為整數(shù)，所以x=31，y=3×31+59=152.

【點(diǎn)評(píng)】正確理解“最后一個(gè)小朋友分到玩具，但不足4件”是解決本題的關(guān)鍵.

五、 忽視隱含條件

例5 （2005·四川成都）如果關(guān)于x的方程1+=的解也是不等式組

>x-2，

2（x-3）≤x-8的一個(gè)解，求m的取值范圍.

【錯(cuò)解】求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得x=-m-2，∴-m-2≤

-2，即m≥0.

【分析】當(dāng)m=0時(shí)，x=-2，此時(shí)x2-4=0，分式方程無(wú)意義，應(yīng)舍去. 產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是忽視了對(duì)增根的檢驗(yàn). 正確解法是：求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得：x=-m-2，又∵x≠±2，∴m≠0且m≠

-4，所以-m-2≤-2，

m≠0且m≠-4.所以m>0.

【點(diǎn)評(píng)】忽視隱含條件是造成解題錯(cuò)誤的“冷面殺手”，我們要重視這方面的訓(xùn)練，提高挖掘隱含條件的能力.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級(jí)中學(xué)）