多元角度 尋求巧解

數(shù)學(xué)能力的提高離不開做題，但當(dāng)做的題目達(dá)到一定的數(shù)量之后，決定做題效果的關(guān)鍵因素就不再是題目的數(shù)量，而在于題目的質(zhì)量和處理水平. 在復(fù)習(xí)中，解題時(shí)要注意從多角度思考，尋找問題的多種解法，并進(jìn)行總結(jié)反思，形成解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這樣在中考中就可以運(yùn)用這些解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)我們的解題活動(dòng)，進(jìn)而快速地尋找到解決有關(guān)問題的最佳途徑.這樣的復(fù)習(xí)才是高效的.

例1 （2013·江蘇南京）已知，如圖1所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，可列出方程：______.

【解析】本題盡管是一道“小題”，但它“小題大做”，能充分考查不同層次考生的思維水平和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能力. 事實(shí)上，題目給出已知圖形的面積為24，這使許多考生想到的是如何把這個(gè)圖形分割為幾個(gè)規(guī)則圖形來計(jì)算，于是得到了圖2-圖4的分割方法，應(yīng)該說這是一般層次的思路；也有考生考慮到計(jì)算的簡(jiǎn)捷性，采用先割后補(bǔ)的做法，得到圖5和圖6，應(yīng)該說這是較高層次的思路；如果考生具有較強(qiáng)的數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，有一定的幾何直觀能力，就會(huì)由殘缺的大正方形想到補(bǔ)“殘”，“無中生有”，補(bǔ)出一個(gè)小正方形，從而得到圖7，應(yīng)該說這是一種創(chuàng)造性的思路. 在每一種思路下得到的方程的簡(jiǎn)繁程度是一目了然的，因此給出的眾多答案可以把不同層次考生的思維層次充分地映射出來，所以說，本題是題目小，功能大.

例2 （2013·四川樂山）已知關(guān)于x、y的方程組x-2y=m，

2x+3y=2m+4 ①

②的解滿足不等式組3x+y≤0，

x+5y>0，求滿足條件的m的整數(shù)值.

【解析】看到這個(gè)題目，你怎么想？解方程組求出x和y（用m表示），再代入不等式組得到關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍，得到滿足條件的m的整數(shù)值——太煩了！若能注意到3x+y可以由①+②得到，x+5y可以由②-①得到，解題過程就十分簡(jiǎn)捷了！事實(shí)上，由①+②得3x+y=3m+4，由②-①得x+5y=m+4，代入不等式組有3m+4≤0，

m+4>0.解得-4

例3 （2012·湖北孝感）已知關(guān)于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 若x1+x2=x1x2-1，求k的值.

【解析】（1） 由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得Δ≥0，即[-2（k-1）]2-4k2≥0，進(jìn)而求出k≤.

（2） 已知條件中含有絕對(duì)值，因此要根據(jù)絕對(duì)值的意義，通過分類去掉絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將兩根和x1+x2與兩根積x1x2用含有k的代數(shù)式表示出來，將其代入即可求得k的取值范圍. 依題意，x1+x2=2（k-1），x1x2=k2. ①當(dāng)x1+x2≥0時(shí)，有x1+x2=x1x2-1，即2（k-1）=k2-1，解得k1=k2=1，∵k≤，∴k1=k2=1不合題意，舍去；②x1+x2<0時(shí)，則有x1+x2=-（x1x2-1），即2（k-1）=-（k2-1），解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3. 綜合①、②可知k=-3. 其實(shí)，從避免分類的角度思考，可以簡(jiǎn)化解題過程. 結(jié)合（1）可知x1+x2=2（k-1）<0，所以可以直接應(yīng)用絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，而不需要分類討論，進(jìn)而：由（1）可知k≤，∴2（k-1）<0，即x1+x2<0，∴-2（k-1）=k2-1，解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3.

例4 （2013·山東日照）甲計(jì)劃用若干個(gè)工作日完成某項(xiàng)工作，從第三個(gè)工作日起，乙加入此項(xiàng)工作，且甲、乙兩人工作效率相同，結(jié)果提前3天完成任務(wù)，則甲計(jì)劃完成此項(xiàng)工作的天數(shù)是（ ）.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【解析】常規(guī)解法是設(shè)甲計(jì)劃完成此項(xiàng)工作的天數(shù)為x，由題意可得+=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的根，且符合題意，所以選A. 如果你注意到“甲、乙兩人工效相同”，甲少做3天的工作量等于乙做（x-5）天的工作量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有更簡(jiǎn)捷的方程：3=x

-5，答案便唾手可得.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級(jí)中學(xué)）