撥亂反正誤中悟

二次函數是初中代數的重要內容之一，為了幫助同學們深刻理解并掌握這部分知識，本文對幾種容易產生錯誤的情況作簡單分析并列舉，以供借鑒.

一、 忽視分類討論思想致錯

例1 已知關于x的函數y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+的圖像與x軸總有交點，求a的取值范圍.

【錯解】∵圖像與x軸總有交點，∴（a+1）2

-4（a2+3a+2）×≥0，∴a≤-1，∵a2+3a+2≠0，∴a≠-1且a≠-2，∴a<-1且a≠-2.

【剖析】題中未指明該函數是一次函數還是二次函數，大多數同學在解題中，因思維定勢，想當然地認為該函數一定是二次函數，且與x軸有交點，忽視了分類討論，造成漏解，導致錯誤.

【正解】當a=-2時，函數為y=-x+，它是一次函數，與x軸也有交點. 所以此題a的取值范圍應是a<-1.

二、 概念不清致錯

例2 當m為何值時，函數y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是關于x的二次函數？

【錯解】由m2-2m-1=2，解之得m1=-1，m2=3. 所以當m=-1或m=3時，函數y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-3）x+m2是二次函數.

【剖析】上述解法為概念錯誤導致. 函數y=ax2+bx+c為二次函數的條件是二次項系數a≠0. 錯解中，當m=-1時，m2+m=0，此時函數為y=-4x+1，不是二次函數，應當舍去.

【正解】由m2-2m-1=2，得m1=-1，m2=3. 又因為m2+m≠0，即m≠0且m≠-1，所以當m=3時，函數是二次函數.

三、 考慮不周致錯

例3 已知拋物線y=x2-2mx+m2+m+2與x軸交點為（a，0），（b，0），求（a-1）2+（b-1）2的最小值.

【錯解】∵（a-1）2+（b-1）2=[（a+b）2-2ab]-2（a+b）+2=2m2-6m-2=2（m-1.5）2-6.5，故當m=1.5時，所求最小值為-6.5.

【剖析】上述錯解疏忽了拋物線與x軸有交點的條件. 當拋物線與x軸有交點時，其解析式所對應的判別式b2-4ac≥0. 事實上，當m=1.5時，b2-4ac<0. 所以上述所得最小值是錯誤的.

【正解】由題意得（-2m）2-4（m2+m+2）≥0，解得m≤-2. （a-1）2+（b-1）2=2（m-1.5）2

-6.5. 故m-1.5取最小值時其值最小. 所以當m=-2時，得（a-1）2+（b-1）2的最小值為18.

四、 忽視已知條件致錯

例4 如圖1，已知二次函數y=x2+bx+c的圖像與y軸交于點A，與x軸正半軸交于B、C，且BC=2，S△ABC=3，則b的值為（ ）.

A. -5 B. 4或-4

C. 4 D. -4

【錯解】由S△ABC=3，BC=2，得A（0，3），即c=3. 由BC2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（-b）2

-4c=b2-12，得b2-12=4，所以b=±4. 選B.

【剖析】錯解沒有考慮到拋物線的對稱軸在y軸的右側，即x=-只能與x軸正半軸相交的事實，所以->0，所以b<0.

【正解】正確答案應選D.

五、 對平移拋物線認識模糊致錯

例5 已知拋物線y=ax2-1向上平移3個單位，再向右平移2個單位后經過點（3，7），求此時所得拋物線的解析式.

【錯解一】拋物線y=ax2-1向上平移3個單位，再向右平移2個單位，解析式變為y=a（x+3）2-1+2，當x=3、y=7時，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+3）2+1.

【錯解二】平移后解析式變為y=a（x+2）2-1+3，當x=3、y=7時，可求得a=. 故平移后拋物線解析式為y=（x+2）2+2.

【剖析】上述兩種解法均錯在對平移拋物線的認識錯誤. 錯解一因為上下平移與左右平移不分. 錯解二因為沒弄清拋物線平移的規律. 拋物線y=ax2-1的頂點坐標為（0，-1），向上平移3個單位后變為（0，2），再向右平移2個單位后變為（2，2），這是平移后的拋物線的頂點坐標.

【正解】因為經過上述平移，拋物線的頂點將移到點（2，2）處，所以設平移后拋物線的解析式為y=a（x-2）2+2，當x=3、y=7時，可求得a=5. 所以，最后拋物線解析式為y=5（x-2）2+2.

六、 不注意自變量的取值范圍致錯

例6 矩形ABCD的兩邊長AB=18 cm，AD=4 cm，點P、Q分別從A、B同時出發，P在邊AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度勻速運動，其中一點到達終點時，另一點也立即停止. 設運動時間為x（s），△PBQ的面積為y（cm2），求△PBQ的面積的最大值.

【錯解】因為S△PBQ=PB·BQ，且PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，所以y=（18-2x）x，即y=-x2+9x. 所以y=-x

-2+. 所以當x=時，y最大值=，即△PBQ的最大面積是 cm2.

【剖析】錯解只考慮二次函數的性質，忽視了自變量的取值范圍. 當頂點橫坐標在自變量的取值范圍內時，頂點的縱坐標是最值， 當頂點橫坐標不在自變量的取值范圍內時，根據函數增減性，最值應在自變量的端點.

【正解】同“錯解”所求的二次函數y=-x2+9x，所以y=-x

-2+. 因為當0

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）