大數化小數,簡化運算

分析數據的時候，大數的計算常讓我們感覺頭疼，這個時候我們可以設法利用一些性質，將較大的數化為較小的數，簡化計算的過程.

1. 大數化小，簡化平均數的計算過程

例1 某校規定：學生的平時作業、期中考試、期末考試三項成績分別按2∶3∶5的比例計入學期總評成績. 小明、小亮、小紅的平時作業、期中考試、期末考試的數學成績如下表，這學期誰的數學總評成績最高？

【常規思路】利用加權平均數公式，先求出三位同學成績的加權平均數，然后比較他們的數學成績的大小.

【簡潔解法】小明：90+（6×2+4×3+0×5）÷10=90+2.4=92.4（分）

小亮：90+（0×2+6×3+3×5）÷10=90+3.3=93.3（分）

小紅：90+（0×2+0×3+6×5）÷10=90+3=93（分）

∴小亮的總評成績最高.

【解法說明】本題所用的簡化方法，實際上是平均數的性質“若x1，x2，x3，…，xn的平均數為，則x1+b，x2+b，x3+b，…，xn+b的平均數為+b”的應用. 應用此性質，可以將一組較大的數，化為一組較小的數，既減輕了運算量，也能提高正確率，這個方法既可用于求算術平均數，也可用于求加權平均數.

2. 大數化小，簡化方差的計算

例2 為了比較甲、乙兩種水稻秧苗是否出苗整齊，每種秧苗各取5株并量出每株的長度如下表所示：（單位：厘米）

請你評價哪個品種出苗更整齊.

【常規思路】判斷兩個品種出苗是否整齊，可應用方差公式分別求出兩個品種水稻的方差，比較兩者方差的大小即可.

【簡潔解法】根據方差的性質：12，13，15，15，10的方差與-1，0，2，2，-3的方差相同；13，14，16，12，10的方差與0，1，3，-1，-3的方差相同.

此時，=0，=0.

S2 甲=［（-1）2+02+22+22+（-3）2］=3.6（厘米2），

S2 乙=［02+12+（-3）2+（-1）2+（-3）2］=4（厘米2），

∵S2 甲

【解法說明】根據方差性質可知：“如果一組數據x1，x2，…，xn的平均數是，方差是s2，那么一組新數據x1+b，x2+b，…，xn+b的平均數是+b，方差仍是s2”，利用這個性質，我們可以將數據中每個數據都減去一個相同的數，轉化為求一組較小數據的方差問題，如果能將每個數據都減去原來這組數據的平均數，那么計算過程會更簡便.

（作者單位：江蘇省南通市北城中學）