例解導函數超越方程

導數在高考數學中占據著重要地位，其中包括導數的概念和幾何意義，以及以導數為工具，研究函數的單調性、極值、最值、導數的運用，而對數函數和指數函數恰恰是常見的導數載體。在這類函數問題中求導根確定單調區間時，常常會遇到不能求出導根的問題，俗稱超越方程不能正常求根，這是近年來的熱門考點，也是高考數學的重點。解決此類問題，通常需要學生使用函數構造法，根據函數的單調性，結合函數圖像，用二分法確定導根的范圍求解，滲透了分類討論、數形結合、函數與方程的思想。

例1.（2014年南昌市一模卷） 如圖1所示，已知函數f（x）=ax-bxlnx，其圖像經過點（1，1） ，且在點（e，f（e））處的切線斜率為3（e為自然對數的底數）。（1）求實數a、b的值；（2）若k∈Z，且 對任意x>1恒成立，求k的最大值。

解：（1）∵f（1）=1，∴a=1。此時，f（x）=x-bxlnx，f'（x）=1-b（1+lnx）

依題意可知：f'（e）=1-b（1+lne）=3，所以，b=-1。

（2）由（1）可知：f（x）=x+xlnx，

當x>1時，設 ，則

設h（x）=x-2-lnx，則 ，

h（x）在（1，+∞）上是增函數，因為h（3）=1-ln3<0，h（4）=2-ln4>0，

所以，存在xo∈（3，4），使h（xo）=0。

當x∈（1，xo）時，h（x）<0，g'（x）<0，即g（x）在（1，xo）上為減函數；同理，g（x）在（xo，+∞）上為增函數，g（x）的最小值為 ，所以k

點評：導函數方程 中，x-2-lnx

=0是對數和一次函數的超越方程，不能正常求解，只有通過構造函數，確定根所在的范圍，才能求解，其中體現了化歸的思想、分類討論的思想和數形結合的思想。

例2.（2013年全國新課標卷）如圖2所示，已知函數f（x）=ex-ln（x+m）。（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性；（2）當m≤2時，證明f（x）>0。

（1）解：f（x）=ex-ln（x+m） f'（0）=ex -

m=1，

定義域為（-1，+∞）， 。

顯然，f（x）在（-1，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增。

（2）證明：令g（x）=ex-ln（x+2） ，所以h（x）是增函數，

h（x）=0至多只有一個實數根，又

，

所以，h（x）=g'（x）=0的唯一實根在區間（- ，0 ）內。

設g'（x）=0的根為t，則有g'（t）=et- ，（-

<0），所以et= t+2=e-t，

當x∈（-2，t）時，g（x）單調遞減；當x∈（t，+∞）時， g（x）單調遞增，所以，g（x）min=g（t）=et-ln（t+2）= + t=

>0。

當m≤2時，有ln（x+m）≤ln（x+2），

所以，f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2）=g（x）≥g（x）min>0。

點評：導函數方程g'（x）=ex- =0 是指數函數和復合反比例函數的超越方程，不能正常求解，通過構造函數，結合函數圖像交點，根據單調性利用二分法確定根所在的范圍才能求解，體現出函數與方程的思想、數形結合的思想。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一中學）