“波利亞數學啟發法”對小學數學教學的啟示

[摘 要]波利亞的數學教育思想十分豐富，教師應通過此教學法更好地優化教學。波利亞的數學啟發法的關鍵不在于方法的名稱，而在于其透露的思想，即小學數學教學中一方面不需要刻意尋求萬能方法，但另一方面又要注意總結，尤其是培養學生的自我總結能力，以便提高自己的問題解決能力。

[關鍵詞]小學數學；波利亞數學啟發法；啟示

波利亞是著名的數學教育家，他的教育思想對數學教學有著強烈的啟示作用。事實上，數學啟發法更像是后人總結的波利亞的教育思想之一，波利亞本身是這么說的：“可以機械地被用于解決一切問題的萬能方法是不存在的，但我們仍然可以通過對于解題活動，特別是已有成功實踐的分析總結出一般性的思維方法或模式，它會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地清楚地向你建議該怎么做。”從這段表述我們可以看出，波利亞的數學啟發法的關鍵不在于方法的名稱，而在于其透露的思想，即小學數學教學中一方面不需要刻意尋求萬能方法，但另一方面又要注意總結，尤其是培養學生的自我總結能力，以便提高自己的問題解決能力。

一、數學啟發法是一種宏觀思維

小學數學教師最缺的并不是指導學生應試的能力，相反，最缺的往往是一種宏觀思維。在目前的評價體制下，數學教師的視野其實非常狹窄，不足以從數學方法論的角度去看待自己的教學，因此能夠教給學生的往往也只是一種淺層次的解題能力，而沒有學會用數學去教學生。

因此，之所以這里說數學啟發法是一種宏觀思維，就是因為筆者想通過波利亞的數學啟發法思想，給自己提供一種視野更為開闊的教學思維。譬如小學數學中常有一些運用特殊方法解題的例子，如窮舉法、極限法等。波利亞曾經給出了這樣的一個例子：兩個人在一張桌上放硬幣，要求硬幣不能重疊，放下最后一枚硬幣者判勝。問先放者勝還是后放者勝？這其中有著豐富的數學思維，最有意思的就是極限法，即假設桌子與硬幣一樣大（結果是誰勝呢）；在此基礎上還可以拓展，即先在桌子的中央放一枚硬幣，那其后對方每放一個位置，自己也能找到一個對稱的位置，那自己必勝。這其中的思維是什么？看起來與數學無關，其實卻是數學上常用的思維，這也就是筆者所強調的宏觀思維。

二、數學啟發法是一種教學意識

數學啟發法更應當成為教師的一種教學意識，也就是日常的數學教學中，教師要有這種“啟發法”的意識，要學會引導學生去總結不同問題背后用到的解決方法的相似性，進而將這些問題進行歸類總結，這樣就能提高自己的解決問題能力，從而也就提高了啟發法的教學效果。

那教師的這種啟發法教學意識怎樣才能形成呢？筆者以為有如下兩種途徑可供嘗試：

其一，教學中要有“啟發”的意識。分析和總結是波利亞關于啟發法表述中的兩個關鍵詞，而中國傳統教育本就強調啟發，即所謂不憤不啟，不悱不發。在實際教學中，啟發意識的存在意味著對灌輸式課堂的抵抗，意味著將學生置于真正的學習主體的地位。根據學習心理的有關研究，人的意識決定了人的行為，因此在課堂上啟發意識的存在是非常重要的。

其二，教學中要有“法”的意識。啟發法更高的境界是幫學生建立“法”的意識，即啟發法不只是適用于某一道習題，而是有可能適用于一類問題的解決。這就需要通過多個問題的解決并進行總結，以讓學生形成法的意識。如以上所舉的例子中，啟發的關鍵在于圓的面積的推導與等量關系的建立，而這種意識正是“法”的意識。

三、數學啟發法是一種學習能力

對于教師而言，關鍵在于研究學生的學習規律，通過學生個體對具體數學知識的學習，去發現他們與數學啟發法之間有什么聯系點，然后以此聯系點為基點并進行發散，進而對學生進行認知策略的培養。

對于學生而言，關鍵在于認知策略的形成，這里的認知策略指的當然是包括啟發法在內的一切認知的策略。作為所有數學學習方法的代表，啟發法的精髓在于其實際上在幫學生進行一種方法上的建模。這里不能不提的是一定量的習題訓練，無論是理論還是實踐均表明，要想形成一定的數學能力，一定量的習題訓練是離不開的。題海戰術與啟發法的區別在于，前者是通過無上限的習題訓練來讓學生形成一種解題慣性，而后者在于通過富有變式思想的不同類型的習題訓練，來讓學生能夠從中提取出有效的解題方法。顯然，后者對于提高學生的學習能力而言，更為有效。

責任編輯 滿令怡