初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的構(gòu)建與探究

[摘 要]數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如果能夠領(lǐng)悟和掌握數(shù)學(xué)思想方法，無(wú)疑可以收到事半功倍的效果。在教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)方法的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用過(guò)程，形成數(shù)學(xué)認(rèn)知的良性循環(huán)。

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；構(gòu)建；探究

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，實(shí)際上是思想方法的發(fā)生過(guò)程與思考過(guò)程。數(shù)學(xué)中的概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、規(guī)律的被提示過(guò)程，都蘊(yùn)藏著向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，訓(xùn)練思維的極好機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，在教材中沒(méi)有專門的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和做題操練而展開(kāi)的。在平時(shí)教學(xué)及學(xué)習(xí)中一定要重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解題的指導(dǎo)思想，不斷總結(jié)能使人終身受益。

一、方程思想

方程思想是指把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)途徑轉(zhuǎn)化為方程，從而使問(wèn)題得到解決的數(shù)學(xué)思想方法。它在探索解題思路時(shí)經(jīng)常使用，特別是對(duì)解決與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)行之有效。在解決“線段與角”的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用小學(xué)中學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)易方程就可以求解。對(duì)于方程思想中利用問(wèn)題中存在的等量關(guān)系，通過(guò)建立方程（組）解決具體問(wèn)題是一種好方法。在“一次函數(shù)”一章節(jié)，方程思想的主要應(yīng)用體現(xiàn)在運(yùn)用待定系數(shù)確定函數(shù)的解析式。如：

已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，-2）和點(diǎn)B（1，6），求此函數(shù)的解析式。

就此問(wèn)題的解答，可先設(shè)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b，再把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入即可得到一個(gè)二元一次方程組，解此方程組即可求出k、b的值，從而確定函數(shù)的解析式。利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)y=kx+b中兩個(gè)待定的系數(shù) k、b，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)已知條件列出k、b的二元一次方程組，從而把一次函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問(wèn)題，既體現(xiàn)了方程的思想，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。

二、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是將要研究和解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)容易解決的問(wèn)題或已經(jīng)解決的問(wèn)題，即把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”的思想方法。在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接求解比較困難時(shí)，就可以將其轉(zhuǎn)化為另一種形式求解。如在學(xué)習(xí)“分式”時(shí)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用就顯得特別常見(jiàn)或明顯，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，把異分母分式加減法轉(zhuǎn)化為同分母分式加減法，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程等。如：

已知函數(shù)y=3x-5，求當(dāng)■

此題由一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=3x-5，可以把關(guān)于x的不等式■

在不少數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，轉(zhuǎn)化思想成了一種很適用的解題技巧。轉(zhuǎn)化思想注重把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的結(jié)構(gòu)上，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，適時(shí)地調(diào)整和改變?cè)械乃季S方式，以求得問(wèn)題的解決，可以說(shuō)轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)很重要的策略或解題技巧。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)和式是問(wèn)題的抽象與概括，圖形和圖像則是問(wèn)題的具體化與直觀化。如在“一次函數(shù)”的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中，充分利用函數(shù)的圖像可以十分簡(jiǎn)捷地解決某些問(wèn)題。

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可以分為兩大類型，或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；或者借助形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”。如反比例函數(shù)y=■（k為常數(shù)，k≠0）。k有著眾多的功能。如：（1）k決定橫、縱坐標(biāo)的乘積；（2）k的符號(hào)決定雙曲線分布的象限；（3）k的符號(hào)決定雙曲線在每個(gè)象限的增減性；（4）k的絕對(duì)值決定坐標(biāo)軸三角形和坐標(biāo)軸矩形的面積。

四、類比思想

類比是一種在不同的對(duì)象之間，或者在事物與事物之間，根據(jù)它們的某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的相似之處進(jìn)行比較，通過(guò)聯(lián)想和猜想，推斷出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨?，從而建立猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)真理的方法。在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比可以幫助學(xué)生利用已有的知識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)、理解和掌握新知識(shí)。

如在教學(xué)“分式和最簡(jiǎn)分式的概念”時(shí)，通過(guò)類比分?jǐn)?shù)，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式。分?jǐn)?shù)與分式的關(guān)系是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系。分?jǐn)?shù)等表示具體的數(shù)值，或者說(shuō)每個(gè)分?jǐn)?shù)表示兩特殊的整數(shù)的除法；分式則具有一般的、抽象的意義。分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則，都是從分?jǐn)?shù)的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運(yùn)算法則中經(jīng)過(guò)再抽象而產(chǎn)生的。在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)分?jǐn)?shù)有較多的了解，因此本章在學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)分式與分?jǐn)?shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認(rèn)識(shí)分式。從學(xué)情分析來(lái)看，經(jīng)過(guò)七年級(jí)一年的學(xué)習(xí)，學(xué)生初步養(yǎng)成了自主探究意識(shí)。一方面，在七年級(jí)上冊(cè)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式，分式與整式一樣也是代數(shù)式，因此研究與學(xué)習(xí)的方法與整式相類似；另一方面，“分式”是“分?jǐn)?shù)”的“代數(shù)化”，學(xué)生可以通過(guò)類比進(jìn)行分式的學(xué)習(xí)。另外，在學(xué)習(xí)本章之前，學(xué)生已經(jīng)分兩次學(xué)習(xí)過(guò)整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），他們對(duì)于整式方程特別是一元一次方程的解法及其基本思路已經(jīng)比較熟悉。分式方程的未知數(shù)在分母中，它的解法比以前學(xué)過(guò)的方程復(fù)雜，隨著問(wèn)題復(fù)雜性的增加，人們需要不斷地提高認(rèn)識(shí)問(wèn)題的水平，這里包括提高對(duì)新事物與已熟悉的事物之間的聯(lián)系的認(rèn)識(shí)?？梢哉f(shuō)“類比思想”在學(xué)習(xí)分式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在與分?jǐn)?shù)類比得出分式的約分、通分、分式的基本性質(zhì)、分式的運(yùn)算法則、分式方程的解法及其應(yīng)用方面。

五、分類討論思想

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做分類的思想。將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法都屬于分類探究的方法。事實(shí)上，某些數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及的概念、法則、性質(zhì)、公式中分類給出的，或者在解答過(guò)程中，條件或結(jié)論不唯一時(shí)，會(huì)產(chǎn)生幾種可能性，這時(shí)就需要分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論。如：

已知直線y=kx+b過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且與y軸交于點(diǎn)B，直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3，求直線的解析式。

從題目的解析來(lái)看，要求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，就必須知道直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。直線與X軸的交點(diǎn)是A（-2，0），但是直線與Y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)沒(méi)有告訴我們，點(diǎn)B可能在Y軸的正半軸，也可能在Y軸的負(fù)半軸，所以需要分情況討論。在平時(shí)教學(xué)中，注重分類討論思想的引導(dǎo)，可以考察學(xué)生思維的周密性，使其克服思維的片面性，防止漏解。分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）分類要做到不重復(fù)、不遺漏。分類的步驟要求是：（1）明確對(duì)象的全體；（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論；（4）歸納小結(jié)得出結(jié)論。

六、建模思想

建模思想就是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種思想方法。在學(xué)習(xí)“分式”時(shí)，分式方程是將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，通過(guò)經(jīng)歷“實(shí)際”問(wèn)題——分式方程模型——求解——驗(yàn)證解的合理性的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，體會(huì)分式方程的模型思想。分式是“整式”之后對(duì)代數(shù)式的進(jìn)一步研究，所以研究方法與整式相同。如：讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)量關(guān)系（分式、分式方程）的過(guò)程，經(jīng)歷通過(guò)觀察、歸納、類比、猜想獲得分式基本性質(zhì)以及分式加、減、乘、除運(yùn)算法則的過(guò)程，體會(huì)分式、分式方程的模型思想，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感。從“分式”的學(xué)習(xí)目標(biāo)來(lái)看，經(jīng)歷用字母表示現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量關(guān)系（分式、分式方程）的過(guò)程，了解分式、分式方程的概念，體會(huì)分式與分式方程是描述現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系的模型，增強(qiáng)符號(hào)感。分式是不同于整式的另一類有理式，是代數(shù)式中重要的基本概念；相應(yīng)的，分式方程是一類有理方程，解分式方程的過(guò)程比解整式方程更復(fù)雜些。然而，分式或分式方程更適合作為某些類型的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，它們具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。

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