向量法在解題中的應用

向量既是代數的對象，又是幾何的對象，它是溝通代數、幾何的一種工具，有著豐富的實際背景。在高中階段，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表示和解決數學和物理中的一些問題，發展運算能力和解決實際問題的能力。

一 向量法在解析幾何中的應用

例1，已知A（-1，-1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵ =[1-（-1），3-（-1）]=（2，4）， =（2-1，7-5）=（1，2）。

又∵2×2-4×1=0，∴ ∥ 。∵ =[1-（-1），5-（-1）]=（2，6）， =（2，4），2×4-2×6≠0。∴ 與 不平行，A，B，C不共線，AB與CD不重合，AB∥CD。

運用“向量法”解決解析幾何問題，過程簡捷，思路清晰，避免了“解析法”中因為直線斜率是否存在產生的分類討論。

二 向量法在立體幾何中的應用

例2，如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=3，AB=4，Q為棱PD上一點，且 =2 。（1）求二面角Q-AC-D的余弦值；（2）求點C到平面PBD的距離。

證：（1）建立如圖所示的直角坐標系，則A（0，0，0）、D（0，3，0）、P（0，0，3）、B（4，0，0）、C（4，3，0），有已知得Q（0，1，2），得 =（0，3，-3）， =（4，3，0）。

設平面QAC的法向量為 =（x，y，z），則 =0，

=0，即 ，∴ ，令y=-4，得

到平面QAC的一個法向量為 =（3，-4，2）。∵PA⊥平

面ABCD，∴ =（0，0，1）為平面ABCD的法向量。

設二面角P-CD-B的大小為θ，依題意可得cosθ=

，（2）由（1）得 =（4，0，-3），

=（0，3，-3）。

設平面PBD的法向量為 =（x，y，z），則 =

0， =0，即 ，∴令x=3，得到平面QAC

的一個法向量為 =（3，4，4）。∵ =（0，3，0），∴

C到面PBD的距離為d= 。

總之，向量是近代數學中重要和基礎的數學概念之一，它是溝通代數、幾何的得力工具。它之所以有用，關鍵是它具有一套良好的運算性質，可以使復雜問題簡單化、直觀化，使代數問題幾何化、幾何問題代數化。正是由于向量所特有的數形二重性，使它成為中學數學知識的一個交匯點，在高中數學教學內容中有廣泛而有效的應用。

〔責任編輯：李錦雯〕