方程（組）解法探討

【摘 要】中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程（組）思想的運(yùn)用非常重要。本文通過實(shí)例，對形如x f（x）=xg（x）指數(shù)方程解法中的常見錯(cuò)誤，進(jìn)行深入的剖析。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)方程 解法 剖析 優(yōu)化 提高

【中圖分類號】G712 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）35-0139-02

方程（組）的思想，是對一個(gè)問題用方程解決的應(yīng)用，也是對方程概念本質(zhì)的認(rèn)識，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的思想方法之一。解指數(shù)方程是指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重要應(yīng)用。高中課本中，指數(shù)方程中的底數(shù)均是大于0且不等1的常數(shù)。而形如x f（x）=xg（x）的方程，雖然也可以叫作指數(shù)方程，但因底數(shù)不是常數(shù)，極易導(dǎo)致解題失誤。

一 常見錯(cuò)誤剖析

不少學(xué)生在解方程xx=x時(shí)，常出現(xiàn)以下兩種典型錯(cuò)誤：錯(cuò)解1：原方程即為xx=x1。由“同底法”得，x=1。錯(cuò)解2：原方程兩邊取對數(shù)，得：x·lgx=lgx，即（x-1）lgx=0。解之得，x=1。

顯然，x=-1也是方程xx=x的解，那么，以上兩種解法漏解的原因在哪里呢？

“同底法”的依據(jù)是由指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的單調(diào)性可知：若ax1=ax2，則x1=x2，而方程xx=x中的底數(shù)x是一個(gè)變量，解法1用“同底法”勢必縮小了x的取值范圍，當(dāng)然就有失根的可能了。

“兩邊取對數(shù)”的條件是“兩邊”均要大于0，而xx=x的兩邊可以小于0，解法2“取對數(shù)”后就會(huì)失根。

二 嚴(yán)謹(jǐn)可靠的解法

部分同學(xué)用觀察法得方程xx=x的解為x=1或x=-1，結(jié)論正確，但對稍復(fù)雜的方程x f（x）=xg（x），觀察法就不那么靈驗(yàn)了。因此，在組織教學(xué)時(shí)要力求做到深入淺出，各得其所，使學(xué)生既不輕視容易，又不害怕困難。如何能做到這一點(diǎn)呢？這就需要尋求解此類方程的有效方法。

事實(shí)上，從以上錯(cuò)解分析中，我們已經(jīng)領(lǐng)悟到解此類方程可用分類討論的方法。為把這一方法闡釋清楚，現(xiàn)舉以下例子加以說明。

例1，解方程xx=x

解：顯然x≠0。

當(dāng)x>0時(shí)，若x=1，代入原方程，知x=1是原方程的解；若x≠1，由xx=x1得x=1（舍去）。

當(dāng)x<0時(shí)，若x=-1，代入原方程，知x=-1是原方程的解；若x≠-1，由xx=x1得x=1（舍去）。

綜上，原方程的解是x=1或x=-1。

例2，解方程xx2+4x+3=xx+1。

解：當(dāng)x>0時(shí)，若x=1，代入原方程，知x=1是原方程的解；若x≠1，由x2+4x+3=x+1得x=-1或x=-2，均舍去。

當(dāng)x=0時(shí)，代入原方程，知x=0是原方程的解。

當(dāng)x<0時(shí)，若x=-1，代入原方程，知x=-1是原方程的解；若x≠-1，由x2+4x+3=x+1得x=-1或x=-2，經(jīng)檢驗(yàn)x=-2是原方程的解。

綜上，原方程的解為x1=0，x2=1，x3=-1，x4=-2。

由此可見，根據(jù)底數(shù)x的不同取值，用分類討論的方法解方程x f（x）=xg（x），不會(huì)失根，這是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)而又可靠的解法。

三 解題過程的優(yōu)化

雖說我們已經(jīng)找到了解方程x f（x）=xg（x）的有效方法，但解題過程比較麻煩，能簡捷些嗎？

進(jìn)一步探討，再看以上二例的解題過程，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)x>0且x≠1和x<0且x≠-1時(shí)，方程x f（x）=xg（x）的解一定在方程f（x）=g（x）的解集中，因此，可將解題過程濃縮為兩步：（1）解方程f（x）=g（x）（注意驗(yàn)根，防止增根）；（2）檢驗(yàn)三個(gè)特殊數(shù)0、1、-1是不是原方程的根。顯然這樣做，比原解題過程簡單多了，現(xiàn)舉例說明如下：

例3，解方程 。

解：由方程 ，兩邊平方后，可簡化為16x2+

18x+5=0，解之得 和 。代入原方程檢驗(yàn)，知均

為增根；以x=0、x=1、x=-1代入原方程，知x=0、x=1是原方程的解。

所以，原方程的解為x=0和x=1。

例4，解方程 。

解：原方程可簡化為 。

根據(jù)前面結(jié)論，得 ，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和

絕對值性質(zhì)得2-x= 或2-x= ，進(jìn)一步解之，得

x=2+ 或x=2+ ，經(jīng)檢驗(yàn)它們都是原方程的根；

以x1=0、x2=1、x3=-1代入原方程，知x=0和x=1是原方程的根。

所以，原方程的解為x1=0、x2=1、x3=2+ ，x4=2+

。

例5，解方程 。

解：原方程可化為 。

解方程 ，得知x= （3± ）是原方程的解；

以x=0、x=1、x=-1代入原方程，知x=0和x=1是原方程的解；

所以，原方程的解為x1=0，x2=1，x3= （3+ ），

x4= （3- ）。

通過前面一些例題解法的探討，我們已對形如x f（x）=xg（x）的方程此類問題的解題方法作一歸納，并總結(jié)出了防止出現(xiàn)增根或失根的原因。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須抓住知識點(diǎn)的運(yùn)用，有的放矢，適時(shí)點(diǎn)拔和啟發(fā)，用嘗試、探索等數(shù)學(xué)思想方法研究常見指數(shù)方程的求解，積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂教學(xué)，大膽探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握正確的解題方法，同時(shí)還要注意驗(yàn)根，防止出現(xiàn)增根或失根現(xiàn)象，增強(qiáng)學(xué)生的探究能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使淺顯平淡的知識有創(chuàng)新意識、有韻味，使不同層次的學(xué)生都有收獲。

參考文獻(xiàn)

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)活動(dòng)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].課程·教材·教法，2008（5）

〔責(zé)任編輯：林勁〕