綜合高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新命題初探與應(yīng)對(duì)策略

摘要：文章從4個(gè)角度對(duì)過去高考創(chuàng)新命題進(jìn)行了歸納總結(jié)，并給出了應(yīng)對(duì)策略。同時(shí)分析了新教材和新考綱的特點(diǎn)，并預(yù)測(cè)了明年高考試卷考試題目創(chuàng)新特點(diǎn)（填空題與解答題結(jié)合在一起）和考試內(nèi)容側(cè)重于知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：命題創(chuàng)新；應(yīng)對(duì)策略；明年高考創(chuàng)新預(yù)測(cè)

由于綜合高中的生源特點(diǎn)（基礎(chǔ)知識(shí)較薄弱，綜合能力較差），所以每年綜合高中數(shù)學(xué)高考試卷一方面要控制難度，以基本題和常規(guī)題為主，另一方面為了保證高考試卷的新穎度和區(qū)分度，每年的高考題中都有1-2道創(chuàng)新題，讓基本功扎實(shí)，能力強(qiáng)的學(xué)生能脫穎而出，達(dá)到選拔人才的效果。結(jié)合綜合高中的教材和學(xué)生的特點(diǎn)，綜合高考創(chuàng)新題的特征是小而活，新而不難，立意巧妙。認(rèn)真研究創(chuàng)新題的特點(diǎn)，可以揣摩命題教師的創(chuàng)新思路，深刻領(lǐng)會(huì)“能力立意”的命題指導(dǎo)思想，準(zhǔn)確把握《考試大綱》的要求，以提高高三復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性。

知識(shí)綜合，推陳出新

【例1】（江蘇省2009年對(duì)口高考第20題）設(shè)數(shù)列a■的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切n∈N+，點(diǎn)（n，■）均在函數(shù)f（x）=3x+2 的圖象上。

（1）求a■，a■及數(shù)列a■的通項(xiàng)公式；

（2）解不等式f（n）？叟Sn-22。

點(diǎn)評(píng)：例1是數(shù)列與函數(shù)，不等式進(jìn)行綜合，在解題時(shí)要注意變量n的取值范圍。

【例2】（江蘇省2010年對(duì)口高考第20題）已知？琢為銳角，且點(diǎn)（cos？琢，sin？琢）在曲線6x2+y2=5上。

（1）求cos2？琢的值

（2）求tan（2？琢-■）的值

點(diǎn)評(píng)：例2是三角函數(shù)與解析幾何的綜合題，屬于淺層次的綜合，改變了題目條件的給出方式，其實(shí)質(zhì)仍然是三角函數(shù)題。

【應(yīng)對(duì)策略】：

在知識(shí)的交匯點(diǎn)處出題，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不同章節(jié)間知識(shí)的綜合運(yùn)用能力是高考中常見的考法，可以考查學(xué)生熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通的能力。數(shù)列、三角函數(shù)作為特殊的函數(shù)常與函數(shù)、不等式進(jìn)行綜合，向量作為工具常與三角函數(shù)，解析幾何進(jìn)行綜合等。這就要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中加強(qiáng)雙基訓(xùn)練，熟練掌握所學(xué)知識(shí)，并培養(yǎng)出解決綜合題的能力。

風(fēng)水輪流轉(zhuǎn)，知識(shí)輪流考

【例3】（江蘇省2013年對(duì)口高考第25題）設(shè)雙曲線■-■=1的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2。

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及漸近線l1，l2的方程；

（2）若A，B分別是l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，且2AB=5F1F2。求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

點(diǎn)評(píng)：上次考查解析幾何的軌跡問題，是在2005年的高考卷上。但后來，從2005年到2012年卻一直未考查，這種長期未考查的知識(shí)點(diǎn)很容易被許多老師淡化。所以，今年再次考查這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，可以說是給了所有老師一個(gè)足夠的警示。

【例4】（江蘇省2010年對(duì)口高考第21題）已知數(shù)列a■滿足

a■=2，a■=a■+2n，n∈N+

（1）求證：a■是a■，a■的等比中項(xiàng)；

（2）求數(shù)列a■的通項(xiàng)公式。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中迭加法求通項(xiàng)公式，在以前單招考試中一直沒出現(xiàn)過，但在2010年的對(duì)口單招考試中卻出現(xiàn)了。這表明，即使以前未考的知識(shí)點(diǎn)，未必以后不會(huì)考， 所以廣大師生在復(fù)習(xí)過程中，千萬不能忽視那些書本上要求掌握的，卻一直沒考過的知識(shí)點(diǎn)。

【應(yīng)對(duì)策略】：

首先：一輪復(fù)習(xí)時(shí)要有足夠的廣度，不能因?yàn)槟硞€(gè)知識(shí)點(diǎn)近幾年沒考，就淡化對(duì)其復(fù)習(xí)，如利用迭加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，在高考中一直沒有考過，但在2010年高考解答中題進(jìn)行了考查；其次：在三輪復(fù)習(xí)中要進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí)，知識(shí)面上不容許出現(xiàn)盲點(diǎn)，研究每一章中有哪些知識(shí)點(diǎn)，最近5年考查了哪些知識(shí)點(diǎn)，還有哪些未考查的知識(shí)點(diǎn)要進(jìn)行掃盲，進(jìn)行針對(duì)性的復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的全面性，避免高考中因?yàn)閺?fù)習(xí)的問題導(dǎo)致班級(jí)整體性的丟分。

二次加工，源于課本

【例5】（江蘇省2012年對(duì)口高考第19題）設(shè)關(guān)于x的不等式x-a<1的解集為（b，3），求a+b的值。

點(diǎn)評(píng)：我們平時(shí)復(fù)習(xí)大多接觸的是給出不等式，求不等式的解集，而此題將條件和結(jié)論進(jìn)行了調(diào)換，給出了絕對(duì)值不等式的解集，求其中待定系數(shù)a，b的值，給人耳目一新的感覺。另外此題其實(shí)是從書本上已知一元二次不等式的解集，求a，b的值的題目遷移而來。

【例6】（江蘇省2012年對(duì)口高考第12題）若過點(diǎn)A（3，0）的直線l與圓C：（x+1）2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線 斜率的取值范圍為（ ）

A.（-■，■）

B.-■，■

C.（-■，■）

D.（-■，■）

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于上述考題，還有個(gè)小故事。在高考的前一天晚上，班級(jí)中部分學(xué)生圍在一起，我對(duì)他們進(jìn)行答疑，這時(shí)其中一個(gè)學(xué)生問到練習(xí)卷上的這樣一道題目：若直線l：y=x+b與圓C：x2+y2=1有公共點(diǎn)，求b的取值范圍。當(dāng)時(shí)我給學(xué)生講解之后，想到高考考同類型的題目可能性不大，于是將題目進(jìn)行適當(dāng)改動(dòng)，將直線y=x+b改成了過P（0，2）的直線，其它條件不變。從這個(gè)故事可以看出，高考題其實(shí)是從書本上練習(xí)二次加工得到。

【應(yīng)對(duì)策略】：

從上述兩個(gè)例題可以看出，高考考題其實(shí)來源于書本和平時(shí)的練習(xí)，并對(duì)此進(jìn)行適當(dāng)?shù)募庸?，所以我們?cè)谄綍r(shí)的復(fù)習(xí)中，要加強(qiáng)變式訓(xùn)練（條件結(jié)論互換，題目遷徙，動(dòng)靜結(jié)合），可以起到事半功倍的效果。

背景新穎，考題公平

【例7】（江蘇省2010年對(duì)口高考第11題）為贏得2010年上海世博會(huì)的制高點(diǎn)，某工藝品廠最近設(shè)計(jì)、生產(chǎn)了一款工藝品進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)表：

根據(jù)該數(shù)據(jù)表，可以推測(cè)下列函數(shù)模型中能較好反映每天銷售量y（單位：件）與銷售單價(jià)x（單位：元/件）之間關(guān)系的是（ ）

A.y=kx+b B.y=ax+bx+c（a≠0）

C.y=logax+b（a>0且a≠1）

D.y=ax+b（a>0且a≠1）

點(diǎn)評(píng)：此題是以上海世博會(huì)為背景的一個(gè)函數(shù)模型題，可利用數(shù)形結(jié)合的思想予以突破。題型較新穎，很難在復(fù)習(xí)資料和模擬試題中找到，解答往往沒有現(xiàn)成的方法可套，對(duì)所有考生公平，并會(huì)使一些考生感到難以入手，從而使試卷具有很好的區(qū)分度和選拔功能。

【例8】（江蘇省2007年對(duì)口高考第22題）隨著人們生活水平的不斷提高，私家車也越來越普及.某人購買了一輛價(jià)值15萬元的汽車，每年應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及消耗汽油費(fèi)合計(jì)12000元，汽車的維修費(fèi)為：第一年3000元，第二年6000元，第三年9000元，依此逐年遞增（成等差數(shù)列）。若以汽車的年平均費(fèi)用最低報(bào)廢最為合算。

（1）求汽車使用年時(shí)，年平均費(fèi)用 （萬元）的表達(dá)式；

（2）問這種汽車使用多少年報(bào)廢最為合算？此時(shí)，年平均費(fèi)用為多少？

點(diǎn)評(píng)：此題以日常生活中私家車保養(yǎng)費(fèi)用為背景，貼近生活，與數(shù)列，一元二次函數(shù)最值，均值不等式最值等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合，難度較大，綜合性強(qiáng)，具有良好的選拔功能。

【應(yīng)對(duì)策略】：

針對(duì)背景新穎的應(yīng)用題，難度較大，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程很難接觸到原題，這需要教師平時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題的能力，并且對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，克服對(duì)應(yīng)用題的恐懼心理，提高解題能力和信心。

新教材的實(shí)施，為創(chuàng)新提供了更廣闊的空間

仔細(xì)研讀新教材，可以發(fā)現(xiàn)新教材中增加了與日常生活聯(lián)系密切的內(nèi)容（邏輯代數(shù)初步、算法與程序框圖、數(shù)據(jù)表格信息處理、編制計(jì)劃的原理與方法、線性規(guī)劃初步等），加強(qiáng)了中職數(shù)學(xué)的實(shí)用性，刪除了一些晦澀難懂的內(nèi)容（如反函數(shù)，均值不等式等）。從新考綱來看，試卷從試題結(jié)構(gòu)和知識(shí)點(diǎn)兩方面進(jìn)行了創(chuàng)新。

【例9】（來源2014年考綱典型題示例10）已知圓x2+y2=10上有一點(diǎn)A（1，3），過點(diǎn)A的圓的直徑的斜率為 ，過點(diǎn)A的圓的切線的斜率為 ，切線方程是 。點(diǎn)B也是圓上的點(diǎn)，那么過點(diǎn)B的圓的切線方程是 。過圓x2+y2=10上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程是 。

如果某城市交通規(guī)劃中，擬在半徑為50m的高架圓形車道側(cè)某處開一個(gè)出口，以與圓形道相切的方式，引伸一條直道接到圓形道中心正北150m處的道路上（如圖），建立如圖所示坐標(biāo)系，試寫出所引伸直道的方程，并計(jì)算出口應(yīng)開在圓形道何處。

點(diǎn)評(píng)：本題將填空題與解答題結(jié)合在一起，進(jìn)行了創(chuàng)新。題中的填空部分為后繼問題的解決奠定了基礎(chǔ)，降低了題目難度，提高了學(xué)生得分。本題背景現(xiàn)實(shí)，從方法論的角度看，讓學(xué)生經(jīng)歷了解決問題的全過程。

【例10】（來源2014年考綱典型題示例11）某飯店烹調(diào)“汽鍋鴿子湯”的用料規(guī)定如下：①鴿子1只，單價(jià)14元/只；②水發(fā)口菇50克，單價(jià)10元/千克；③冬筍、火腿、干貝等原料6元；④調(diào)味品0.9元。規(guī)定毛利率為55﹪。

（1）你能制作“汽鍋鴿子湯”的成本表嗎？

（2）“汽鍋鴿子湯”的定價(jià)應(yīng)是多少元？（保留到個(gè)位）

答案：（1）成本表如下：

（2）21.4（1+55%）=33.17≈33（元）。

點(diǎn)評(píng)：

1.本題屬于“數(shù)據(jù)表格、數(shù)組” 內(nèi)容。此類問題與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，有較強(qiáng)的應(yīng)用性。

2.新教材中增加了與日常生活聯(lián)系密切的一些內(nèi)容，如邏輯代數(shù)初步、算法與程序框圖、數(shù)據(jù)表格信息處理、編制計(jì)劃的原理與方法、線性規(guī)劃初步等，一方面加強(qiáng)了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，提高了中職數(shù)學(xué)教材的實(shí)用性，另一方面為高考創(chuàng)新命題提供了廣闊的空間。

【應(yīng)對(duì)策略】：

針對(duì)新教材和新考綱的實(shí)施，廣大教師需要解放思想，打破傳統(tǒng)的思維習(xí)慣，在平時(shí)的教學(xué)中加強(qiáng)雙基，強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)；在平時(shí)的測(cè)試中，要求學(xué)生盡快適應(yīng)新考綱的試卷風(fēng)格，加強(qiáng)模擬練習(xí)。

以上一方面是本人對(duì)過去高考試卷中創(chuàng)新題的回顧和總結(jié)，另一方面是對(duì)新教材和新考綱的分析和對(duì)明年高考試卷創(chuàng)新方向的預(yù)測(cè)，希望能起到拋磚引玉的作用，提高高三復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性。

（責(zé)任編輯：王慶慶）