關(guān)于對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用
2014-04-29 00:00:00楊昌海
今日湖北·中旬刊 2014年2期
在積分的計(jì)算中充分利用積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性，往往能使計(jì)算簡(jiǎn)捷，達(dá)到事半功倍的效果。
Q1：對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在哪些方面？
對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用非常廣泛，不僅在定積分，二重積分，還在線、面積分上也有應(yīng)用。
Q2：什么樣的定積分，可以應(yīng)用對(duì)稱性求解？有些什么樣的結(jié)論？如何應(yīng)用？
定積分是積分學(xué)的基本內(nèi)容， 定積分的計(jì)算方法很重要且多種多樣， 有的方法不對(duì)，計(jì)算更繁瑣，若能恰當(dāng)應(yīng)用對(duì)稱性，即可簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算。
應(yīng)用對(duì)稱性，有下面的結(jié)論：
定理1 設(shè)f（x）在[-a，a]上連續(xù)，則
（1） 若f（x）為奇函數(shù)， 則 .
（2） 若f（x）為偶函數(shù)， 則 .
例1 求積分 .
解：雖然被積函數(shù)非奇非偶，但可以把它分成兩個(gè)部分和，前一部分是偶函數(shù)，后一部分是奇函數(shù)，因此，可用定理1的結(jié)論簡(jiǎn)化其計(jì)算。
這樣的例子很多，有的直接應(yīng)用定理1，有的通過定積分性質(zhì)拆項(xiàng)后再應(yīng)用定理1，達(dá)到簡(jiǎn)化積分運(yùn)算。
Q3：對(duì)于無窮限的廣義積分，是否也有相應(yīng)的應(yīng)用對(duì)稱性求解的方法？有些什么樣的結(jié)論？如何應(yīng)用？
對(duì)于無窮限的廣義積分，根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性也有一些結(jié)論：
由定理1，很容易得到下面的結(jié)論：
推論1 設(shè)f（x）在（-∞，∞）上連續(xù)， F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，且無窮限非正常積分f（x）dx收斂，則有
（1）若f（x）為奇函數(shù)，則f（x）dx=0.
（2）若f（x）為偶函數(shù)，則f（x）dx=.
