先“感”后“覺”模式在高等數學教學中的應用

摘 要 經濟類院校的高等數學教學對所涉及的專業發展及考研就業均有著重要的影響，因此對于高效的教學模式的探討勢在必行。這里我們提出了“先感之，后覺之”兩步走的教學模式，而其中又可以進一步細化為四步教學步驟，以實現以人為本，循序漸進，感性理性認識相結合的教學宗旨。該模式不僅適用于高等數學的教學，也可結合其他學科的自身特點加以推廣。

關鍵詞 教學 感覺 提取 分析

一、引言

如何提高經濟類院校高等數學課堂教學效果是必要性很強的一個課題。目前對于高等數學領域的研究多限于高等數學理論的發展與完善，而如何提高高等數學課堂教學效果尤其是在經濟類院校作為公共課的高等數學課堂教學效果這一課題，卻不太受重視，即使談及此方面的問題，也多泛泛而談，并沒有突出經濟類專業學生學習高等數學的特色。

我們試圖為高等數學教學模式提供一種更具體系特性的框架，它不是為某個知識點的教授而專門設置，而是從一般性的角度出發給出了高等數學教學如何更有效率地進行的一種探索。希望使作為很多非數學專業的學生眼中談虎色變的高等數學，變得“更容易聽懂，更容易接受，更容易應用”。

二、先“感”入手，形成概念

感覺這個詞是我們生活中的常用詞，很少有人想過，它意味著我們對于事物的認知實際上是一個先感之，后覺之的過程。“感”，強調了人們對于事物的形式，形象，結構，輪廓燈外在的特征的基本認識，或者通俗地來說就是對事物的感性認識。“覺”，強調了人們對于事物的內涵，條理，邏輯，本質等內在特征的基本認識，或者通俗地來說就是對事物的理性認識。我們要掌握某部分知識或了解某個事物，就必須經歷從感到覺的細致過程。這兩個過程缺一不可，且必然以感為先。正如我們去參觀朋友的住所，一定是先觀察有幾間房、房間的整體感覺、房間的朝向、主體的色調等，而后才會比較細致地關注那些家具，電器，小物件等等。可見，先感后覺，先輪廓后細節符合我們大腦樸素的認知習慣。

下面，我們首先進入“感”的過程。對于很多學生來說，高等數學學習效果不佳的根本原因是對基本概念的模糊甚至錯誤理解。我們就以高等數學教學中的知識概念的傳授為例，講述這個過程。

（一）問題引入

“感”的過程實際上是如何讓學生順利地接受某數學概念。這個過程又可分為：問題引入和概念提取。問題引入指并非簡單直接地將概念或者公式堆砌在學生眼前，而是通過適當地引入，使得學生覺得概念的產生是自然而然的，甚至是讓學生覺得概念的出現是呼之欲出的，這樣再給出概念的準確表達，學生就很容易接受了。這種做法通俗地來解釋就是希望在學生的大腦和待接受的概念直接實現“軟連接”，或者叫做“無痕連接”。從講授的方法來說，最直接的方式當然是不做任何鋪墊，直接給出概念的敘述。這種做法貌似是最省事的，似乎是最有效率的，但結果往往是事倍功半，適得其反。所以，我們非常強調上面所說的問題引入。這種引入并非是顧左右而言他，而是緊緊圍繞要講授的知識本身，給出最接近該知識的實例或者實際背景，為后面概念的介紹達到一種潤滑油的作用，以使得概念的給出不是那么生硬，避免出現被大腦排斥，也就是“硬連接”的狀態。

（二）概念提取

在問題引入之后，就是概念提取這一環節了。再華麗細致的引入都是為了概念提取而服務的。問題的引入雖然很形象，但畢竟它們只是粗糙的反映知識概念，極度地缺乏提煉。換句話說，真正的概念是隱藏在這些問題引入中的，如果我們只是停留在這一階段，將造成學生對于概念的似是而非，因為它缺乏針對性的語言去描述。另一方面，問題的引入之所以形象，是因為它有具體的問題背景，而這既是它的優勢，也是它的劣勢。高等數學中一個概念往往是抽象的，它是一類現象的綜合性描述。舉例來說，若n階矩陣A，B滿足AB=I，我們稱A或B是可逆的。在這一概念中，A和B都是抽象的，它們可以是任意的n階矩陣。而在問題引入時，我們為了讓學生充分理解上面這個等式，可能會舉具體的矩陣實例加以說明。那么我們不能將實例中的矩陣作為介紹可逆這一概念的支撐性語句。實際上，可逆應該是具備這一特征的一類矩陣的綜合體。所以在充分的問題引入之后，下面就要對其提純，也就是將具體的問題背景去掉，只留下本質的特征。作為教師應該從具體的問題引入提煉出概念的準確表達，并且要讓學生理解概念的每一部分就是將問題引入中的某一部分抽掉了具體背景而得到的抽象體現。這樣概念的表述就不會顯得公式化，抽象化。

三、后“覺”鞏固，消化概念

“覺”的過程實際上是在前面“感”的過程的延續。“感”讓學生對概念的得出有了形象和準確的認識。換句話說，借助具體問題背景讓學生產生了對概念的基本印象，并存入的大腦。但有句老話，知其然須知其所以然。對一個概念的掌握，絕非是能夠接受這個概念的敘述這么簡單。學生們經常遇到的一個苦惱問題就是：老師來講授知識的時候，自己聽來覺得理所當然，都理解了，但一旦獨立地利用概念去處理問題，就常常出錯，這是為什么呢？問題就在于，之前概念的形成是借助了具體實例或問題背景的，它缺乏嚴謹的科學分析，學生容易受一些似是而非的感受的影響，對概念形成一些錯誤的理解。這就導致一旦換個例子，可能理解上就會犯錯。如果用更通俗的話來說，就是學生還沒有從概念中抓住它的本質，未能把概念中能抽象化一類對象的語句理解透。為了解決這個問題，我們需要概念分析這一過程。

（一）概念分析

概念分析是指為了加強學生對概念地理解，必須對概念的描述進行詳細地分析。高等數學中的概念描述都是很嚴謹的，之所以學生會在概念的應用中出現這樣或那樣的問題，主要原因就在于一個“度”的理解。簡單來說，學生沒有從根本上明白，概念中所代表的的那些敘述哪些可以變更，哪些不能變更。為了幫助學生正確地理解概念，老師主要須做到兩點。第一，要讓學生理解概念為何要這樣表述。如果用數學中的語言來說，這些表述對于這個概念是充分地，還是必要的，還是充分必要的。這個問題也可以理解為一個“度”，也就是我們能改動其中的哪些描述，反之哪些描述是不能被其他描述所代替的。第二，對于概念表述中的條件，我們要讓學生理解為何必須具備這些條件方有概念地產生，條件不能減弱的原因是什么，條件不需加強的原因又是什么。數學中的概念，經常是錯綜復雜的，如概率論中的獨立與互斥，獨立與不相關，看似差不多，概念卻千差萬別。

（二）概念應用

“實踐是檢驗真理的唯一標準”，同樣實踐也是檢驗學生是否真正掌握概念的唯一標準。如果能應用概念去解決實際問題，當然也就對概念真正掌握了。我們所說的概念應用是指，抽象的知識只有在具體的應用中方能得到深刻的理解，最直觀的理解方式就是讓概念能直接簡潔地應用到某個問題中去，也就是說讓學生在具體是問題中體會概念的實際含義以及概念中各個重要環節的描述與實際問題是怎樣一一對應的。這一過程和問題引入是遙相呼應，但又功能不同的兩個環節，前者是為了讓學生理解為什么又該概念的產生；后者是為了讓學生理解該概念對應了哪些實際問題。從這個意義上講，前者是讓概念從具體到抽象，后者讓概念從抽象回歸到具體，而這種回歸不是簡單地重復，而是理解的升華。在實際應用中，教師還可適時地改變待處理的問題的條件，讓學生充分理解在不同條件下，是否能應用相應的概念去處理問題。

四、結語

我們的先“感”后“覺”模式，實際上是遵從了人類對信息接受的自然流程，尊重了人的本來思維習慣，充分體現了以人為本的教學宗旨。這樣一種兩步（也可以說是四步）教學模式不僅僅可以應用到高等數學的教學中去，也可以應用到其他理科類課程的課堂教學中，比如物理學，信息學，統計學等。這樣一種教學模式不僅僅讓學生學習高等數學的效率得到提高，也會讓教師脫離過去那種僵化的教學模式，更大地激發自身的工作熱情，對自身也是一種提高。

參考文獻：

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