利用正、余弦定理判斷三角形形狀

利用正、余弦定理判斷三角形形狀常以選擇、填空題形式出現，多以簡單或中等難度的題為主，但學生初學時往往不能很好地運用正弦定理和余弦定理。本人結合自己的教學實踐，總結、積累了幾種常見的題型，并在教學實踐中取得了較好的成效。

判定三角形形狀通常有兩種方法：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角（如：a=2R sinA，a2+b2-c2=2ab cosC

等）；（2）利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如 ，

等。

第一，當條件中有邊角關系，均為一次，且角的關系都是余弦時，一般情況下兩種方法都可以，如例1：

例1，在△ABC中， ，則判斷△ABC的形狀。

方法一：∵

由正弦定理得： ，∴sinA cosA=sinB cosB。

即sin2A=sin2B，又A、B為△ABC的內角。

∴2A=2B或2A+2B=π

即A=B，或A+B= 。

所以，△ABC為等腰或直角三角形。

方法二：∵

∴a cosA=b cosB，即 。

∴a2（b2+c2-a2）=b2（a2+c2-b2）

即（a2-b2）（c2-a2-b2）=0

∴a=b或c2=a2+b2。

所以，△ABC為等腰或直角三角形。

規律總結：在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，則A=B

或A+B= ；若sin（A-B）=0，則A=B。

第二，當條件中一邊是角的余弦，一邊是角的正弦，其余是邊的關系，則常用方法一，如例2：

例2，在△ABC中， ，則判斷△ABC

的形狀。

解：∵ ，又由正弦定理：

，得：sinB=cosB，sinC=cosC。

∴B=45°，C=45°。

所以，△ABC為等腰直角三角形。

規律總結：在△ABC中，若sinB=cosB，則B=45°。

第三，當條件中有平方時常用方法二，如例3、例4：

例3，在△ABC中，sin2A+sin2B

解：Qsin2A+sin2B

∴a2+b2-c2<0，又 。

∴C為鈍角。

所以，△ABC為鈍角三角形。

例4，在△ABC中，2B=A+C，b2=ac，則判斷△ABC的形狀。

解：Q2B=A+C，又A+B+C=π。

∴B=60°，又 。

∴ ，∴（a-c）2=0。

即a=c，∴A=C=60°。

所以，△ABC為等邊三角形。

〔責任編輯：龐遠燕〕