學好向量的一二三

向量知識在許多國家的中學數學教材中，早就成了一個基本的教學內容。在中國全面實施新課程后，向量雖然已進入中學，但仍處于起步階段。向量知識、向量觀點在數學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數形與一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。本文就如何學好向量談幾點看法。

一 認識向量，理解和掌握基礎概念

1.向量是什么？

向量是有大小有方向的量，它與數是不同的，不能比較大小；它與線段也不同，它是自由移動的。力是向量最常見的實例，大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合可用平行四邊形法則得到。

2.向量空間是什么？

僅僅知道向量是什么，形成不了什么有意義的問題。于是數學家給向量添加了加法、減法、數乘運算，有了這些運算，向量之間相互運算，從而形成一組向量，就有了向量空間，也稱為線性空間。向量的分解即向量的基本定理是解題時經常用到的，該定理是說平面或空間中的任一向量都可以用一組基底唯一的表示出來。

3.引入數量積

在平面向量中，數量積是這樣定義的： ，其中θ為向量 ， 的夾角。它的坐標表示為 ，其中 =（x1，y1）， =（x2，y2）。

數量積的引入是數與形結合的開始，也是向量與幾何、函數、復數、三角等數學知識相互融合的開始。引入了數量積的向量，就好像人類社會掌握了高科技，可以呼風喚雨，上天入地。

二 研究向量，體會向量中的數學思想方法

要學好向量，除了要熟悉向量的定義、運算、性質外是遠遠不夠的。題目考查的是向量的哪部分知識點，這道題與向量是否有聯系，怎樣把要求解的問題轉化成所學知識，這是我們在解題時要思考的。

1.數形結合的思想方法

由于向量本身是數與形的結合，所以在向量學習的整個過程中，都體現了數形結合的思想方法。在解決問題時，逐步形成以數思形、以形助數的思維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識。

2.化歸轉化的思想方法

化歸與轉化也就是把生題轉化為熟題，復雜問題化為簡單問題，較難問題化為較易問題。解題時的平行、垂直、夾角等關系都可以轉化為向量或向量坐標的運算；三角形形狀的判定也可以轉化為數量積；一些實際問題也可以化為向量問題。

3.分類討論的思想方法

向量有共線向量和不共線向量之分，共線向量又有同向向量與反向向量之分，向量 ， 夾角的不同，使得它們的數量積有正數、負數和零的區別。

例1，已知 ， 為單位向量，它們的夾角為120°，向量 與 共線，求 的最小值。

解法一：∵ 與 共線，∴存在實數λ使得 =λ（ + ）。

∴

λ2+λ+1。

∴當λ= 時， ，∴ 。

解法二：作圖法。

如右圖所示，OACB為邊

長為1的菱形，D為OC中點。

為 ， 為 ， 為

，因為向量 與 共線，所以向量 可以看成是以直線OC上任一點為起點，O為終點的向量，根據三角形法則， 即為起點在直線OC上，終點為A的向量。所以 模

長的最小值為向量 的模長 。

解題回顧：這道題是向量中求最值問題，解法一和解法二分別從代數和幾何兩個角度給出了解答。解法一中，把向量 用變量λ表示出來，從而使得 可以表示成關于λ的一個函數，問題就轉化為了求二次函數的最小值，體現了函數的思想。解法二中，把向量 處理成終點定起點動的一個向量，問題最后轉化為了求線外一點與直線上點的最短距離，體現了數形結合的思想。同時兩種解法都體現了化歸轉化的思想。

三 應用向量，突出與其他數學知識的交匯

教材十分注重理論和實際的結合，更加注重應用。在解決一個數學問題時，要用到向量的哪部分知識，這是我們要思考的。（1）利用公式 的結構，如：試證cos（α-β）cosα cosβ+sinα sinβ。（2）利用 ≤ ，如：試證不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d 2）。（3）利用 和 ，如：證明平面幾何中的線線平行，線線

垂直等。（4）利用 ，如：判斷三角形內角為銳

角、直角或鈍角；求兩條直線所成的角等。

〔責任編輯：龐遠燕〕