培養學生運用二次函數解決問題的能力

一 問題現象

在學習完二次函數以后，我出了這樣一道題：某商場以每件42元的價錢購進一種服裝，根據試銷得知：這種服裝每天的銷售量t（件），與每件的銷售價x（元/件）可看成是一次函數關系：t=-3x+204。（1）寫出商場賣這種服裝每天的銷售利潤y與每件的銷售價x之間的函數關系式。（2）通過對所得函數關系式進行配方，指出：商場要想每天獲得最大利潤，每件的銷售價定為多少最為合適？最大銷售利潤為多少？

這道題是一道利用求二次函數的最大值解決實際問題的試題，稍作分析不難發現：商場的利潤是由每件商品的利潤乘以每天銷售的數量所決定的。在這個問題中，每件服裝的利潤為（x-42），而銷售的件數是（-3x+204），那么就能得到一個y與x之間的函數關系，這個函數是二次函數。銷售的最大利潤就是求這個二次函數的最大值。我以為學生解答這樣的題應該沒有問題，但出乎我意料是，很多學生對此束手無策，能做出來的寥寥無幾。

二 問題思考

為什么會這樣呢？經過教學證明：（1）學生對二次函數的圖形變化沒有掌握牢固，弄不清楚沿x軸、y軸移動后函數式到底怎樣變化。（2）不能把圖像和具體問題聯系起來。看到二次函數圖形對何時取最大值、最小值弄不清楚。究其原因，主要有以下幾點：教學中教師忙于完成教學任務，讓學生吃了“夾生飯”，學生沒有很好理解二次函數的概念、性質、圖像；教學中教師未能為學生的學習創設良好的問題情境，讓學生在生活中學數學；二次函數的應用需要學生有較強的綜合能力，而教學中教師對學生綜合能力的培養不夠。因此，在教學中我們應根據學生的心理特點和教材特點組織課堂教學。

三 問題的研究

1.專業、理論指導

《課程標準》強調自主、探究、合作的學習，強調數學與生活的聯系。因此，課標教材中安排了一些現實生活中與二次函數緊密聯系的一些最常見的題型，這些問題的設計使學生感受二次函數的意義，感受到數學與生活的廣泛聯系和應用價值，還安排了大量的探究性活動，通過學生的合作與交流，獲得相應的知識與技能。具體思路如下：（1）通過分析實際問題以及表示這一關系或過程引出二次函數的概念。（2）對二次函數性質的研究采取利用圖像直觀的非形式化的研究方式，通過學生自己的探索活動，達到對拋物線的特點的認識和對二次函數的理解。（3）二次函數圖像的研究是由簡單到復雜、從特殊到一般的過程，并且貫穿了實際問題，把圖像直觀與實際意義相聯系。（4）用表格、表達式、圖像等多種方式表達二次函數。（5）可利用二次函數解決實際的問題。

2.實踐指導

實踐是認識事物的源泉，是發現事物規律的有效途徑。數學是數學活動的教學，沒有做就沒有數學學習，因此，在進行二次函數的教學中，我們應為學生創設問題情境，加強數學與生活的聯系，讓學生在問題情境中做數學，培養學生運用數學解決實踐問題的能力。

3.他山之石

“數形結合”在二次函數中的應用。數形結合是通過“數”與“形”的互相轉化，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。數形結合是初中數學的基本思想之一，是用來解決數學問題的重要思想。近年來，各地中考對考生數形結合能力的考查越來越深，本文通過實例淺談“數形結合”在二次函數中的應用。

第一，“以形解數”。

例1，已知：點（-1，y1），（-3，y2），（2，y3）在y=3x2+6x+2的圖像上。則：y1、y2、y3的大小關系為（ ）。

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3

C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1

分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2，畫出圖像，由圖像可以看出：拋物線的對稱軸為直線x=-1。

即：x=-1時，y有最小值，故排除A、B，由圖像可以看出：x=2時y3的值，比x=-3時y2的值大，故選C。

注：以上是“以形解數”，即將數量關系借圖形表示，使其直觀化、形象化，從而使問題得以解決。

第二，“以數助形”。

例2，已知：二次函數y=x2-2x-3的圖像與x軸交于A（x1，0），B（x2，0），x1<0

注：例題由數到形，由形到數，用運動變化的觀點去分析和化歸，巧妙地運用了圖形特征來觀察圖像的變化規律，解決十分巧妙，充分體現了“數”“形”結合的解題思想。

通過以上例子可看出，正確地利用“數形結合”可使二次函數問題簡單化、具體化，使復雜問題輕易得以解決。

四 教學實踐與策略探究

我們要從課堂教學入手，探索培養學生應用二次函數的知識和思想方法解決實踐問題的能力。

1.收集圖片，激發學習興趣

興趣是學習的動力源泉。我們在教學二次函數之前搜集了具有代表意義的圖片，如中國的石拱橋、火車隧道的形狀、擺動的跳繩、射出去下落的子彈等拋物線形。在課堂上用多媒體展示，并與學生討論這些建筑物和運動項目與二次函數拋物線的關系，使學生認識到二次函數應用的廣泛和學習二次函數的必要性和重要性，以激發學生的學習興趣，充分調動學生的積極性。

2.經歷探索過程，理解定義內容

讓學生從已學過的一次函數著手，通過例題學習并自己體味二次函數的定義。如圓面積S=πr2，當r變化時，S因r的變化而變化，此時r可以是自變量，S是因變量，且r的最高次是2。

再如學生自己探索出y=-5x2+100x+60000，當x變化時y也變化，并且x的最高次數是2。

由此讓學生自己總結定義，如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數叫x的二次函數，同時還要注意不同情況下自變量x的取值范圍。此時，教師要引導學生不能死記硬背定義，能夠靈活地舉出二次函數的各種實例，如正方形面積S和邊長a之間的關系S=a2是二次函數等。把理論知識和實踐生活結合在一起，真正理解定義的內容。

3.借助多媒體演示，掌握圖形特點

讓學生從最簡單的二次函數y=ax2的圖形著手研究其特點：頂點坐標、對稱軸、最大（小）值、開口方向，注意x的取值范圍，連點的曲線要光滑，由此得出拋物線圖形。再利用多媒體對圖像沿y軸（x軸）進行平移h個單位，在平移過程中圖形的開口方向和大小都沒改變，但是位置、頂點坐標、對稱軸發生了變化。

此時，學生一定要在腦海中清楚地呈現出二次函數的各種圖形特征，才能靈活地解決二次函數的各種問題。學生在理解定義、掌握圖形特點的基礎上，教師還要引導學生加強訓練，拓寬視野，完善思維結構，教會學生思維方法，優化他們的思維品質，從根本上提高學生的解題能力，掃除前進道路上的困難。

五 我的反思

第一，在學生對二次函數的應用感到困難時，不要簡單地批評指正，應引導他們正確地分析和表示問題中變量之間的關系來解決實際問題，并引導學生對解決問題的基本策略進行反思，形成個人解決問題的風格。

第二，正確引導學生尋找知識的薄弱環節，及時填補各種空白，點點滴滴積累知識，同時組織學生互相檢查，共同討論、交流學習經驗，一同排除前進道路上的障礙。這樣才能促進學生全面和諧地發展，讓他們感到自己能夠在知識的海洋中遨游，是學習的主人，是戰勝困難的強者。

〔責任編輯：李錦雯〕