空間向量與立體幾何計算

【摘 要】高中數學教學過程中，立體幾何是數學學習過程中非常重要的內容，在其相關題目的求解過程中，尤其是立體幾何計算題對于學生各方面的邏輯思維能力及解題能力具有較高的要求，而空間向量是立體幾何計算過程中非常重要的工具，本文就結合立體幾何計算過程中的典型例題，對空間向量與例題幾何的計算進行簡單分析。

【關鍵詞】空間向量 立體幾何 計算

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）14-0152-02

立體幾何對于學生的數學基礎及解題能力具有較高的要求，在實際的計算應用中，空間向量是一種非常有效的解題工具，對于立體幾何中垂直關系、角、點面距離等的求解具有非常好的作用，本文結合這幾方面的一些典型題目的計算進行簡單分析，以期對提升學生在空間向量與立體幾何題目中的求解計算能力具有幫助作用。

一 空間向量在立體幾何垂直問題中的應用

立體幾何中的垂直問題大多是要應用空間向量的有關知識進行證明，例舉一個簡單的實例來進行說明，在如圖1所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點，F是D1B1的中點，要求證明EF垂直于平面B1AC。

應用向量法對以上的例題進行求解，首先要能夠確定出適當的基底，對于題目中的已知條件及要求目標中的向量應用基底來進行表示，假設，并依據向量數量積的相關運算方法來對題目中的已知條件及要求目標中的有關向量進行有效的運算與變形，具體的運算如下列所示：

所以得到EF與AB1垂直，同理可得EF與B1C垂直，又因為A1B1∩B1C=B1，所以能夠得到EF垂直于平面B1AC。

由以上例題的求解可知，將空間向量應用于立體幾何題目的求解中，解題思路非常地清晰，并且計算起來非常的方便，空間向量法在此類問題的求解過程中具有非常好的求解效果。

圖1 圖2

二 空間向量在立體幾何角度計算中的應用

角度的計算是立體幾何中非常常見的題目，而這類題目的求解，對于學生的邏輯思維及空間想象力具有較高的要求，尤其是在一些面面角、線面角、線線角的求解過程中，具有較大的難度，而應用向量法進行求解，能夠有效地簡化計算步驟，減少計算量，對于立體幾何相關夾角的快速計算具有積極的作用，下面就例舉一個簡單的題目來進行分析。

例：正方體ABCD-A1B1C1D1如圖2所示，已知圖中的AB=AD=1，DD1=2，要求求解A1B與AD1的夾角的余弦值；AC1與平面ABCD之間的夾角的余弦值；以及平面A1BCD1與平面ABCD的夾角之間的余弦值。

在應用向量法進行題目的求解的過程中，首先要以D作為原點，建立其有效的空間直角坐標系，其中坐標系中的x、y、z軸分別是DA、DC與DD1，如圖3所示。

由題目中的已知條件，能夠得到各點的坐標值，其中A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、D（0，0，0）、A1（1，0，2）、B1（1，1，2）、C1（0，1，2）、D1（0，0，2）。由于，=（0，1，-2），=（-1，0，2），由此可見，AD1與A1B之間的夾角的余弦值是cos〈AD1，A1B〉，

帶入相關的計算公式，得到其值為。在進行AC1與平面

ABCD之間的夾角值的計算時，=（-1，1，2），得到平面ABCD的一個法向量為DD1，并且=（0，0，2），假設AC1與平面ABCD之間的夾角可以用θ表示，所以計算的過程中，sinθ=|cos〈AC1，DD1〉|，帶入相關的數值進行

計算，計算得到其值為，計算平面ABCD與平面A1B1C1D1

之間的夾角的余弦值時，假設平面A1BCD1的一個法向量可以表示為，并設=（x，y，z），所以能夠得到，因為=（1，0，0），=（0，-1，2）所以得到x=0，-y+2z=0，如果令z=1，則能夠得到=（0，2，1），由上文中的分析可知，是平面ABCD的法向量，并且=（0，0，2），所以能夠計算得到平

面ABCD與平面A1B1C1D1之間的夾角的余弦值為。

圖3 圖4

三 空間向量在立體幾何點線距離及點面距離計算中的應用

空間向量在立體幾何中的有關距離的求解中也具有非常重要的作用，下面舉一個簡單的例題來進行說明，四棱錐P-ABCD如圖4所示，其中該四棱錐的底面是一個邊長值是2的正方形，并且PD與底面ABCD是垂直的關系，已知PD的值為2，M是AB的中點，N是BC的中點，要求求解點D到PM直線的距離。

應用向量法對該題目進行求解，首先要建立其相關的空間坐標系，本次求解過程中，空間直角坐標系的建立，將D作為原點，x軸、y軸、z軸分別是DA、DC以及DP，根據題目中的已知條件以及所建立的空間直角坐標系，能夠得到各點的坐標值分別為：N（1，2，0）、M（2，1，0）、P（0，0，2）、D（0，0，0），=（0，0，2），=（2，1，-2），

所以能夠得到，將這些數值代入，能夠得到

D點到直線PM之間的距離值為，由此可見，將向量法

應用于立體幾何的點線距離的計算中，大大簡化了計算步驟，使計算過程非常簡潔，并且能夠保證計算的準確率，在實際的應用中，關于立體幾何中的點面距離的求解，應用向量法也是非常有效的解題途徑。

四 結束語

在高中數學的學習過程中，立體幾何是一個重點及難點部分，也是高考中的必考題目，應用向量法求解有關的立體幾何計算問題，非常方便，但在實際的求解過程中，學生由于對相關的向量知識及立體幾何知識的掌握不到位，在計算過程中，還具有較多的問題。本文就舉了關于立體幾何中的垂直問題、角度計算問題、距離計算問題等幾個常見的計算題目，通過對相關的求解步驟的分析，對提升學生的解題思維及計算準確度具有積極的作用。

參考文獻

[1]潘虹.淺談空間向量方法在立體幾何中的應用[J].讀與寫（教育教學版），2013（2）

[2]禇艷春.如何在立體幾何中用好空間向量[J].學周刊，2011（31）

〔責任編輯：范可〕