對常微分方程實行分層次教學的實踐和思考

摘 要：常微分方程是大學數學專業的重要基礎課，是進一步學習泛函分析、數值計算、數學建模、偏微分方程、穩定性理論和控制論等方向的入門學科，具有很強的理論性和應用性，主要探討在常微分方程教學改革實踐實行分層次教學的一些嘗試和所取得的效果。

關鍵詞：矛盾；問題；實踐；思考

常微分方程是大學數學專業的一門重要基礎課，是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現象運動、演化和變化規律的最基本的數學理論和方法。這門課程對后續的學習和實際應用都起著非常重要的作用，如何把理論和應用相結合就是我們教學改革實踐的重點，為此我們做了教學改革的一些嘗試。

一、常微分方程教學的矛盾和問題

1.現行教學模式主要采用以教師灌輸為主的“填鴨式”教學，雖然有進度快、覆蓋內容多、教師便于教學組織管理等優點，但同時也忽略了教學過程中師生的交流和學生的主動學習，使學生陷入思維的惰性中，限制了學生的批判性和創造性思維能力。

2.聯系具體的實際問題較少，教學偏重理論，而常微分方程是一門應用性較強的學科，但我們在教學中比較注重常微分方程的概念、基本理論和基本解法，而忽視常微分方程模型的建立方法以及實際意義，事實上很多方程描述了物理、化學、經濟中的原理和規律，弄清這些問題有助于激發學生的學習興趣，可以應用于實際生活中，真正做到學以致用。

3.教學中沒有引入計算機輔助教學，而在實際中除了一些簡單或特殊的微分方程，我們可以用公式或特定方法求解外，大部分方程要給出其解析常常是非常困難的，只能借助于數學軟件給出其數值解，而且在教學中引入數學軟件可以讓學生更直觀地理解一些抽象的概念，如奇解等。

4.教學忽略學生個體的培養，沒有對學生進行分層教學，常微分方程對數學分析和高等代數的基礎要求較高，但學生的個體水平參差不齊，大一基礎也有所不同。有的學生能夠在有限時間內很快掌握課堂上的內容，有的學生卻比較吃力，有的學生對于課程的學習有很濃厚的興趣，有的學生卻一般。而教師通常采取的措施是照顧大多數學生的需要，忽略個體培養。

5.考核形式單一，偏重于理論和計算的考查，忽視數學應用和知識引申的考查，不能針對各類學生的學習水平，做出實事求是的評價，不能對每一個學生進行恰當的評價和肯定。

二、常微分方程課程改革的實踐和思考

針對以上幾個問題和矛盾，我們近兩年對常微分方程課程進行了教學改革和實踐，主要是實行了分層次教學改革，具體表現為：

1.由于學生個體水平的差異，對學生進行分層，避免出現有些學生吃不飽和有些學生學得太緊張的情況，根據本專業的特點，我們在實踐中將學生分為兩個層次：第一個層次的學生要求掌握基本的知識點和思想方法；第二個層次的學生除了以上要求外，還應在知識面上有所拓展。

2.根據學生分層情況重組和改進教學內容，將課程內容進行結構重組，分為基礎模塊、應用模塊、研究拓展模塊三部分，突出基礎理論和實踐應用兩方面。

3.根據學生分層情況，采用靈活多變的授課模式，對基礎模塊主要采用的還是授受式教學，但注入了對話式和啟發式教學方法，對應用模塊主要采用開設實驗課和案例教學，引入計算機輔助教學，借助于Matlab來介紹常微分方程的數值解法，并且利用它的繪圖功能來演示像奇解這樣有明顯幾何意義概念的幾何特征；對研究拓展模塊主要采用小論文和課堂報告的形式，以解決實際問題為主線。引導學生建立學習團隊，通過自身或以團隊合作的方式開展發掘、調查、訪問、資料收集、操作等多樣的學習活動，分析、解決問題，以達到培養和提高學生的研究和創新能力。

4.根據學生分層情況制訂和完善合理的考核評價體系，對于第一層次的學生，主要采用期末成績與平時表現、實驗情況相結合；而對于第二層次的學生，則采用由平時學習狀態的考核、小組合作學習能力的考核、實踐創新能力的考核、期末綜合能力的考核組成的四位一體的多元評價體系，對學生進行合理評價。

分層次教學還起到了很好的效果，基礎差的學生在上課時可以跟上節奏，提高了學習興趣，基礎好的學生通過前期查找資料、確定課題、解決問題、完成論文這一過程學會了研究性學習，在這個過程中對課堂的知識做了思考和探索，讓學生真正明白課程的應用性，學會了獨立思考、獨立選題，加深了對課本知識的理解，拓寬了知識領域，也為后面的數學建模打下了堅實的基礎。

作為工科院校，微分方程的課程建設任重而道遠，而我們在實踐中也出現了一些問題，比如，如何控制基礎內容和應用內容的學時分配，如何引導學生進行課外研究，如何評價學生的研究內容，這些都是我們要解決的問題。不過只要學校、老師、學生一起努力，不斷探索課程培養模式，把課程和實踐相結合，就能實現常微分方程的學習和應用能力的培養。

參考文獻：

[1]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]周義倉.常微分方程及其應用[M].科學出版社，2010.

編輯 孫玲娟