一個(gè)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用舉例

一元二次方程的求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系，是初中數(shù)學(xué)中的重要組成部分。我們知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）在？駐=b2-4ac？叟0時(shí)，兩根分別為x1=■和x2=■且x1+x2=-■，x1·x2=■，但很少講到兩根之差是什么。現(xiàn)在，就來(lái)推導(dǎo)一下：x1-x2=■-■=■，即x1-x2=■，這也可以作為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的另一公式。它在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很多，尤其是在解決二次曲線中與弦長(zhǎng)有關(guān)問(wèn)題時(shí)常常用到。

例1：求直線y=x-1與拋物線y=-■x2的兩交點(diǎn)間距離。

解：設(shè)直線y=x-1與拋物線y=-■x2的兩交點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），由y=x-1y=■x■，得x2+4x-4=0，即？駐=42-4×1×（-4）=32，則x1-x2=■=■，又y1=x1-1，y2=x2-1，故y1-y2=|（x1-1）-（x2-1）|=x1-x2=■，所以：|AB|=■=■=■=8，即：直線y=x-1與拋物線y=-■x■的兩交點(diǎn)間距離為8。由此例推廣到一般就有：若直線y=kx+b（k存在）與二次曲線y=f（x，y）相交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則弦AB的長(zhǎng)d=■x1-x2=■■。

例2：已知直線x-y-4=0與圓x2+y2-12x-4y+24=0相交與A、B兩點(diǎn)，求|AB|。

解：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立方程組：x-y-4=0x2+y2-12x-4y+24=0，消去y并整理得x2-12x+28=0，則兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2就為這個(gè)一元二次方程的兩根，又？駐=（-12）2-4×1×28=32gt;0，故x1-x2=■=■，所以，所求弦長(zhǎng)|AB|=■x1-x2=■·■=■=8。

例3：已知直線y=x+m被橢圓4x2+y2=1截得的弦長(zhǎng)為■，求實(shí)數(shù)m的值。

解：設(shè)已知弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組：y=x+m4x2+y2=1，消元整理得：5x2+2mx+m2-1=0，則x1、x2就為這個(gè)一元二次方程的兩根，且？駐=（2m）2-4×5×（m2-1）=20-16m2，又弦長(zhǎng)|AB|=■■=■·■=■=■，解得：m=±■。當(dāng)k=0時(shí)，得到相交弦平行于x軸或與x軸重合的特例，這時(shí)弦長(zhǎng)d=x1-x2=■。

例4：已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，-1），且拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離為d，當(dāng)d=■時(shí)，求其解析式。

解：根據(jù)題意，可設(shè)所求拋物線為y=a（x-1）2-1，即y=ax2-2ax+a-1，拋物線與x軸的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2是方程ax2-2ax+a-1=0的兩根，則d=x1-x2=■=■=■=■，即■=■，解得：a=■。所以，所求拋物線的解析式為y=■x2-■x+■.

例5：已知二次函數(shù)y=x2+（m+1）x+m-9，求：（1）m為何值時(shí)，拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離為10;（2）m為何值時(shí)，拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離最小，且最小距離為多少？

解：∵？駐=（m+1）2-4（m-9）=m2+2m+1-4m+36=（m-1）2+36gt;0，∴已知拋物線恒與x軸相交且有兩交點(diǎn)，設(shè)這兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則兩交點(diǎn)間的距離d=x1-x2=■=■=■。（1）由d=■=10，得（m-1）2+36=100，即（m-1）2=64，解得：m=9或m=-7，所以m=9或m=-7時(shí)，拋物線與軸的兩交點(diǎn)間的距離為10;（2）由d=■， 得當(dāng)m=1時(shí)，d有最小值，即m=1時(shí)，拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離最小，且最小距離為dmin=■=6.

（江蘇省溧水中等專業(yè)學(xué)校）