高考數學選修考點探討

本文筆者通過認真研究近7年來的廣東高考數學試題，發現對選修版塊的考查多集中在復數、導數、簡易邏輯用語、圓錐曲線、變量的相關性及統計案例、推理與證明、計數原理排列與組合、二項式定理、離散型變量的分布列、期望與方差等. 2014年高考已過去，2015年高考選修版塊怎樣考是我們師生都相當關注的問題，本文從廣東高考題目中經常考查的選修熱點考點的命題形式，分值等入手，結合一些最新的高考模擬題進行剖析， 探討2015年高考選修版塊的命題方向，旨在幫助考生弄清選修考點的本質，熟練掌握問題的解答方法. 供同學們在復習時參考.

一、復數篇

復數是歷年高考的必考內容，以選擇、填空題為主，分值為5分左右，是送分題，近幾年的廣東高考重點考查了復數的除法運算，在注重對基礎運算考查的同時，有意識地融合復數的基本概念、復數冪的運算的考查.

考點1. 復數的基本概念及基本運算

例1. 已知復數z=（1+i）2 （i為虛數單位），則z= .

分析： 本題考查復數的運算、復數的模. 把復數化成標準的a+bi（a，b∈R）形式，利用z=求得.

解析：z=（1+i）2=1+2i-1=2i，z=2.

點評：對復數有關概念的考查主要是與復數的運算相結合，一般為客觀題，難度小，解題關鍵是準確把握有關概念，根據復數的運算法則準確進行簡化運算.

考點2. 復數的運算幾何意義

例2. 復數z=在復平面上對應的點位于第 象限

分析：本題考查復數的幾何意義，一般來說，處理這類問題時一定要先將復數z化為代數形式，再利用復數的幾何意義進行判斷.

解析：z====，所以點（，-）位于第四象限.

點評：復數的幾何意義是高考命題的一個重點，多結合復數的基本運算與復數對應的點所在象限進行考查，解決這類問題的關鍵是準確理解復數與復平面內點之間的一一對應關系，通過四則運算法則準確進行化簡，確定其實部與虛部.

二、導數篇

通過認真研究這幾年廣東高考試題，發現以導數知識作為工具，考查函數的單調性、切線問題、最值（極值）、恒成立問題、零點（方程根）問題等是熱點考點，常考常新，對這部分的考查，命題形式是一道大題（壓軸題）或一道選擇、填空題，分值在20分左右.

考點3. 求單調區間（取值范圍）

例3. 求函數y=x2-lnx的單調減區間.

分析：這是一個非初等函數，應用定義法或復合函數單調性的方法不容易求出函數的單調減區間，我們不妨利用導數法來求可導函數的單調區間.

解析：由題意得函數的定義域為（0，+∞），y′=x-，令x-=0，解得x=±1，當x∈（-1，1）時，y′<0. 又x>0，所以函數y=x2-lnx的單調減區間為（0，1）.

點評：應用導數求函數的單調區間的步驟是先判斷函數的定義域，然后求出導函數f′（x），最后分別由f′（x）>0或f′（x）<0即可求得函數的增區間或減區間. 但是要注意的是在解題時應優先考慮函數的定義域，否則容易出錯.

考點4. 求函數的最值（極值）

例4. 求函數f（x）=x3-x2+1在區間[-2，2]上的最大值與最小值.

分析：解答本題的關鍵是求出函數f（x）的導函數，及使導函數的值為零的點，即求出可導點，然后判斷在可導點兩側的單調性，求出函數的極值，再與兩端的函數值比較即可.

解析：f′（x）=3x2-3x=3x（x-1），令f′（x）=0可得x=0或x=1.

列出關于x，f′（x），f（x）表格：

所以當x=0時，f（x）取得極大值1，當x=1時，f（x）取得極小值.

又f（-2）=-13，f（2）=3，故函數的最大值為3，最小值為-13.

點評：一般地，在閉區間[a，b]上的連續函數f（x）必有最大值與最小值，在開區間（a，b）內的連續函數不一定有最大值與最小值，若函數y=f（x）在閉區間[a，b]上單調遞增，則f（a）是最小值，f（b）是最大值;若函數y=f（x）在閉區間[a，b]上單調遞減，則f（a）是最大值，f（b）是最小值.

考點5. 含參不等式的恒成立問題

例5. 若對x∈[-1，2]，不等式x3-x2-2x+t

分析：構造函數f（x）=x3-x2-2x+t，再求出函數f（x）的最大值即可，即通過解不等式f（x）max≤t2求出t的取值范圍.

解析： f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），令（3x+2）（x-1）=0，得到x1=-，x2=1，當-10;當-

所以函數f（x）在x=-處取得極大值，為極大值為f′（-）=+t.

又f（2）=2+t，f（-1）=+t，比較可知f（2）=2+t為最大值. 要使不等式x3-x2-2x+t2.

點評：應用導數解答函數的恒成立問題的基本步驟是先求出函數的最值，再轉化成解不等式，求出參數即可.

考點6. 導數的幾何意義（切線方程）

例6. 已知函數f（x）=ln（x+1）-，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程.

分析：本題考查了導數的幾何意義，關鍵是注意函數定義域及對函數正確求導.

解析：函數f（x）的定義域為（-1，+∞），f′（x）=-=.

由題意，得f′（0）==-1，切點為（0，0），故切線方程為y=-x.

點評：解決此類問題一定要分清“在某點處的切線”，還是“過某點的切線”的問法. 解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標為P（x0，y0），然后求其切線斜率k=f（x0）， 寫出其切線方程.而“在某點處的切線”就是指“某點”為切點.

三、圓錐曲線篇

直線與圓錐曲線位置關系問題是每年高考考查的熱點.這類問題綜合性強，運算量大，代數推理能力要求高.考查的熱點問題主要有公共點問題、弦長問題、中點弦問題、最值問題、定點（定值）問題、對稱問題.題型是一道解答題和一道填空題或選擇題，分值為20分左右.

考點7. 公共點（交點）問題

例7. 若直線y=kx+1（k∈R）與橢圓+=1恒有公共點，求實數t的取值范圍.

分析：公共點問題可以通過利用判別式法來求解.判別式法解題的主要步驟是（1）直線方程與方程聯立，消去y或x得到關于x或y的一元二次方程;（2）借助？駐來判斷.

解析：由y=kx+1代入+=1得（5k2+t）x2+10kx+5-5t=0.

所以？駐=t-5k2-1≥0，得t≥5k2+1≥1，故t≥1且t≠5.

點評：判別式法是解答這類題的通性通法.

考點8. 弦長問題

例8. 已知橢圓+=1的左右焦點分別為F1、F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A、B兩點，求AB.

分析： 弦長問題一般利用弦長公式AB= x1-x2來定義來解答. 解答基本步驟是聯立直線與圓錐曲線方程消去y（或x）得到關于的一元二次方程，再利用韋達定理求解即可.

解析：令A（x1，y1），B（x2，y2），將y=-2x-2代入+y2=1可得9x2+16x+6=0. 所以x1+x2=-，x1x2=. 故AB=x1-x2==.

點評：本題利用了弦長公式來求解，體現了通性通法.

考點9. "最值（范圍）問題

例9. 橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為e=，橢圓上各點到直線l∶x-y++=0的最短距離為1，求橢圓的方程.

解析：由e=，得e2=，即=，得a2=4b2.設橢圓的方程為+=1，則其參數方程為x=2bcos？茲，y=bsin？茲. 設橢圓上一點P（2bcos？茲，bsin？茲），則P（2bcos？茲，bsin？茲）到直線x-y++=0的距離為d==

其中tan？漬=2. dmin= =1，解得b=1，故橢圓的方程為+y2=1.

點評：參數法解題的關鍵是由已知條件，建立目標函數，結合函數的最值方法求最值.

四、常用邏輯用語篇

涉及常用邏輯用語的問題在近幾年廣東高考中出現的頻率還是比較高的，一般以選擇題、填空題的形式出現，分值為5分左右.也可能是大題，如2011年高考廣東理科的21題.命題熱點有三個方面：一是考查充分條件與必要條件的推理判斷問題，如2010年高考廣東卷第5題; 二是四種命題及其相互關系、含有邏輯聯結詞的命題的真假判斷的考查，如2008年高考廣東卷，對于命題的真假判斷、給出一個命題寫出它的其它三種命題并判斷真假仍然是考試的熱點;三是全稱命題與特稱命題的真假判斷及其寫出其否定形式.

考點10. 充分必要條件

例10. “m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有實數解”的 " " " " 的條件.

分析：我們把“m<”看作是p，“一元二次方程x2+x+m=0有實數解” 看作是q，為此解答本題的關鍵是由一元二次方程x2+x+m=0有實數解，根據方程的判別式△>0得到m的范圍或利用配方法及非負數的意義得到m的范圍，再借助充分、必要的含義來判斷即可.

解析：設p：“m<”，q： “一元二次方程x2+x+m=0有實數解”，由x2+x+m=0有實數解知，（x+）2=≥0？圳m≤.即p：“m<”，q：“m≤”，p？圯q， 反之不成立，故填充分不必要.

點評：充分必要條件的判定方法有定義法、集合法、等價轉換法，利用定義法判斷命題充要條件的核心就是判斷充分性及必要性是否成立.

例11. 已知命題p“？坌x∈R，x2≥0”，命題q：“若x>0，則lgx>0”則下列命題中為真命題的是（ " " ）

A. （ p） q " B. pq " "C. （ p）（ q） " D.（ p）（ q）

分析：先判斷命題p、命題q的真假，再結合真值表逐一判斷即可.

解析：不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，則 p為假命題， q為真命題，對于A， p與q為假命題，故

（ p） q 為假命題;對于B，因為q為假命題，故pq 為假命題;對于C，因為 "p為假命題，故（ p）（ q）為假命題;從而上述敘述中只有（ p）（ q） 為真命題，選D.

點評：本題是含有邏輯聯結詞“或”“且”“非”的命題的真假性的判斷問題，解決這類問題的關鍵是先判斷命題p與q的真假，而pq，pq， p的形式的命題的真假性判斷的訣竅分別是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.

五、計數原理與排列組合篇

計數原理與排列組合知識是歷年廣東高考的重點內容之一，此類問題與實際聯系緊密，常與概率問題結合起來進行考查，以選擇、填空題為主，分值為5-10分左右，預測2015年高考對計數原理與排列組合知識的考查是穩中求變，力求創新.

考點11. 計數原理與排列組合

例12. 為了迎接年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同.記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是 " " " " " "秒.

解析：每次閃爍時間秒，共5×120=600s每兩次閃爍之間的間隔為5s，共5×（120-1）=595s.總共就有600+595=1195s. 故需要的時間至少是1195秒.

點評：本題主要考查計數原理的知識在實際問題中的應用，同時考查了考生分析問題、解決問題的能力，讀懂題意是解決這類問題的關鍵，有一定的難度.

例13. 某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其他三門藝術課各1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的概率為 " " " （用數字作答）.

解析：6節課共有A66種排法.語文、數學、外語三門文化課中間隔1節藝術課有A33A34種排法，三門文化課中都相鄰有A33A34種排法，三門文化課中有兩門相鄰有C23C22C12C12A33，故所有的排法有2A33A34+C23A22C12C12A33，所以相鄰兩節文化課之間最多間隔1節藝術課的概率為=.

點評：解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元素、或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個基本原理作最后處理.對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏.

六、二項式定理篇

二項式定理是近幾年廣東高考的命題熱點考點，主要有：（1）利用通項公式求展開式的特定項;（2）利用二項式的性質求多項式的二項式系數和、各項系數和.題型為選擇題或填空題，分值為5分左右.

考點12. 求展開式中項的系數（二項式系數）

例14. （x2+）6的展開式中x3的系數為 " " nbsp; " ".（用數字作答）

解析：Tr+1=Cr6（x2）6-r（）r=Cr6x12-3r，令12-3r=3得r=3，所以C36=20.即x3的系數為20.

點評：本題主要考查二項式定理，熟練寫出二項展開式的通項公式是解決這類問題的常規方法，涉及系數問題要注意分清是求二項式系數還是某項的系數，否則易出錯.

七、離散型隨機變量及其分布列、均值與方差篇

隨機變量的均值、方差的計算難度不會很大，對于一般分布可以根據均值、方差的定義直接求解，對于特殊分布（如超幾何分布、二項分布等），則可以利用各自的計算公式來簡化運算，高考對于這部分的 命題方式可以為選擇題、填空題、解答題，分值在5-10分左右，其中考查離散型隨機變量的均值與方差計算的 題目多出現在解答題中，屬于低檔題.

考點13. 離散型隨機變量 ？孜的分布列、均值與方差問題

例15. 一盒中有4個正品和2個次品零件，每次取1個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數 ？孜的分布列、均值與方差.

分析：欲求離散型隨機變量 ？孜的均值（數學期望）與方差，必須先求出 ？孜的取值，然后利用排列、組合與概率知識求出 ？孜取各個值的概率，再求出 ？孜的概率分布列，然后再根據有關公式求 ？孜的均值（數學期望）與方差.

解析： ？孜=0，1，2，則P（ ？孜=0）=×;P（ ？孜=1）=×=;P（ ？孜=2）=××=; ？孜的分布列為：

E？孜=0×+1×+2×=，

D？孜=（0-）2×+（1-）2×+（2-）2×=.

點評：求隨機變量的均值與方差的關鍵是先求出它的分布列，正確理解離散型隨機變量的兩個基本特征：pi≥0（i=1，2，3…n）與p=1，它們是確定分布列中參數的依據.注意理解“在取得正品前已取出的次品數”，另外我們還要注意“不再放回”與“有放回”的區別.

考點14. 正態分布問題

例16. 某高三畢業班有60位考生，該班的一次英語聽說考試成績近似服從正態分布，平均分為70分，標準差為10，問從理論上講該班成績在80～90分的人數有多少人？

分析：對正態分布問題的關鍵是抓住兩個參數？滋，？滓 ，理解兩個參數的實際意義，再用三個基本概率值就能解決問題.

解析：因為？滋=70，？滓=10，P（60

點評：在解決正態分布問題若不能熟悉特殊范圍的概率，在求解時容易出錯.

八、變量的相關性及統計案例篇

變量的相關性及統計案例在近幾年的高考中呈現增多的趨勢，對于回歸方程，要會根據最小二乘法求其方程，這里的關鍵是考查同學們的數據處理能力和計算能力;對于獨立性檢驗問題，要理解其基本思想，根據給定的數據能夠得到其2×2列聯表，然后利用K2進行獨立性檢驗.高考對于這部分的命題方式可以為選擇題、填空題、解答題，分值在5-10分左右，其中考查2×2列聯表計算的題目多出現在解答題中，屬于低檔題.

例17. 為考慮廣告費用與銷售額之間的關系，抽取了5家超市，得到如下數據：

現要使銷售額達到6萬元，則所需的廣告費用為多少元？

解析：x=7，y=41.6，xy=1697，x2i=349. 所以b==48.2，

a=41.6-48.2×7=-295.8. 故回歸直線方程為=48.2x-295.8. 當y=6萬元=60千元時，60≈48.2x-295.8，解得x≈7.4千元.

九、推理與證明篇

推理與證明貫穿高中數學的每一個章節，是高中數學的主要內容，在高考中，涉及歸納推理和類比推理的題目在僅幾年的新課標高考中時常出現，考查的形式以選擇、填空題為主，分值為5分，難度中檔.

例18. 用黑白兩種顏色的正方形地磚按照下圖拼成若干圖形. 則按此規律第n（n∈N？鄢）個圖形中有白色地磚多少塊？

" 分析與解：我們不妨先從探討n=1，2，3時的圖形中有多少塊白色地磚入手，從中找出它們滿足的具體規律，通過觀察所畫的圖形得到第1，2，3個圖形中的白色地磚分別為8、13、18塊的時候，我們還不能看出它們之間有什么規律，所以這時候需要我們將這些數據進行處理，因為8=3×3-1，13=3×5-2，18=3×7-3，從上面我們可以看到一定的規律，所以我們歸納推理得到第n（n∈N？鄢）個圖形中有白色地磚塊3×（2n+1）-n，問題也就得到了解答.

點評：本題要求考生通過閱讀題目，認真觀察已經給出的圖形，得到數列的前幾項的特殊值，再將它們進行分解，從中歸納推理數列所滿足的規律，從而猜想得到數列的通項公式.

（作者單位：五華縣五華中學）

責任編校 " 徐國堅