談談如何構造新數列來解題

在高中數學中，數列是同學們學習的一個難點.數列試題大致會出現這么幾類問題：求數列的通項，求數列的和，證明關于數列的不等式.在求數列的通項和證明數列的不等式的時候，常常會用到構造新數列的方法來解決.新數列的構造在同學們看來比較神奇，它往往能起到畫龍點睛的效果.那么，同學們應該從哪些方面入手，來進行構造新數列呢？本文就這個問題進行探討，希望能對同學們的高三復習有所幫助.

一、利用數列的特征方程來構造新數列

這是構造新數列最常用的方法. 在一階遞推數列中，我們把an+1，an看成是變量x，得到的方程我們稱為特征方程;在二階遞推數列中，我們把an+2看成x2，an+1看成是變量x，an看成是常數，得到的方程我們稱為特征方程.如何理解特征方程呢，同學們可以想象為一個式子如果變為這樣：（an+1-x）=A（an-x），如果an+1，an看成是變量x，那么那個方程是恒成立的. 常用的特征方程有如下幾類：

1. 遞推關系式形如an+1=pan+q（p，q為常數，且p≠1，q≠1）的特征方程為：x=px+q，解之有：x=■. 因此，我們對于這一類遞推數列，直接構造新數列bn=an-■，它是以p為公比的等比數列.

例1. 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1（n∈N？鄢），求數列{an}的通項公式.

解析：∵ an+1=2an+1（n∈N？鄢），

∴ an+1+1=2（an+1），

∴ {an+1}是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數列.

∴ an+1=2n.

即an=2n-1（n∈N？鄢）.

注：為什么要構造{an+1}這個新數列，是因為特征方程的解是x=-1. 在特征方程的解是整數時，往往容易看出原數列加上哪個常數是等比數列，如果特征方程的解是分數時，往往是看不出來的. 比如：an+1=5an-1，這個特征方程的解是■.

2. 遞推關系式形如an+1=pan+kqn+1（p，q，k為常數，且p≠1，q≠0，k≠0），我們構造新數列bn=an-？姿qn，其中是特征方程x=■x+k的根.

例2. 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2n+1，求an.

解析：構造新數列bn=an+2n+1，把an=bn-2n+1代入原條件，得：

bn+1=3bn，再由b1=a1+4=5可得：bn=5×3n-1.

從而an=5×3n-1-2n+1（n∈N？鄢）.

注：這里的特征方程是x=■x+1，所以有了新數列bn=an+2n+1.

3. 遞推關系式形如an+1=pan+kn+b（q，b，k為常數，且p≠1，k≠0），我們暫時先把n看成常數，解出特征方程：x=px+kn+b，構造新數列bn=an-x，把關系式中的an換成bn后，就回到了第1種類型，再次構造新數列，就把問題解決了.

例3. 已知數列{an}滿足a1=1，n≥2時，an=■an-1+2n-1，求an.

解析：令bn=an-4n+2，則有an=bn+4n-2，代入an=■an-1+2n-1，有：

bn=■bn-1-2（n≥2， n∈N？鄢）.

從而有bn+4=■（bn-1+4），又b1=a1-4+2=-1，故：

bn+4=3·（■）n-1？圯bn=3·（■）n-1-4，

所以an=■+4n-6（n∈N？鄢）.

注：本題的構造也并非沒有規律，數列bn=an-x中，x是特征方程x=■+2n-1的解，它的作用在于能消去n，轉化為第一種類型. 本題還有一種解法，是待定系數法.

同學們請看：

另解：作bn=an-An+B，則an=bn-An-B，an-1=bn-1-A（n-1）-B代入已知遞推式中得：bn=■bn-1+（■A+2）n+（■A-■B-1）（n≥2， n∈N）.

令■A+2=0，■A+■B-1=0？圯A=-4，B=6.

這時bn=■bn-1且bn=an-4n-6.

顯然，bn=■，所以an=■+4n-6（n∈N？鄢）.

這二種方法中，第一種是解二個一元一次方程，第二種是解一個二元一次方程組，第二種方法對計算能力要求高一點.

4. 遞推關系式形如an+1=■（■≠■，C≠0），我們直接有特征方程：x=■，這是一個關于x的一元二次方程，它會出現三種情況：

1）如果方程有二個不同的實根x1，x2，則數列{■}是一個等比數列，解之即可;

2）如果方程有二個相現的實根x，則數列{■}是一個等差數列，解之即可;

3）如果方程沒有實根，則要考慮數列是一個周期數列.

例4. 已知數列{an}滿足a1=3，an+1=■，求an.

解析：由an+1=■可得：

an+1-1=■-1=■=3·■;

an+1-2=■-2=■=2·■，

二式相除，得■=■·■， 因此， 數列{■}是以■為公比，首項為2的等比數列，所以有： ■=2·（■）n-1？圯an=■（n∈N？鄢）.

注：為什么要對原式進行減1和減2呢？是因為1和2是特征方程x=■的二實根.

例5. 已知數列{an}滿足a1=2，an+1=-■，求an.

解析：由an+1=-■可得：

an+1+1=1-■=■？圯■=1+■.

所以，數列{■}是以1為公差，■為首項的等差數列，故有：

■=■+（n-1）·1=n-■？圯an=■（n∈N？鄢）.

注：特征方程x=-■有兩個相同的根-1，所以構造新數列{■}來進行解答.

例6. 已知數列{an}滿足a1=2，an+1=■，求an.

解析：由a1=2， an+1=-■可得： a2=-1，a3=■， a4=2…

從而有：an=2，n=3k-2-1，n=3k-1■.n=3k（k∈N？鄢）

注：為什么能想到這是一個周期為3的數列呢？是因為特征方程x=■沒有實根.

5. 遞推關系式形如an+1=■（？茁，？酌為非零常數），它有如下結論：

由x=■即x2+？酌x-？茁=0，解得兩根x1， x2.

①若x1≠x2，看■也有所獲：■=■2.

∴由迭代法，得■=■■…

（或兩邊取對數得等比數列ln■…）

②若x1=x2=x0，可約簡遞推公式再做，如an+1=■=■（an-1）.

例7. 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=■（n∈N？鄢），求an .

解析：由an+1=■可得：an+1+1=■+1=■，

二式相除，可得：■=■？圯ln（■）=2ln（■）.

設bn=ln（■），有bn+1=2bn？圯bn=ln2·2n-1.

故：ln（■）=ln2·2n-1？圯■=2■？圯an=■（n∈N？鄢）.

注：這是一道難題，因為同學們不知道為什么要二邊同時加上1，其實是因為特征方程有二個根，一個是0，一個是-1，故要二邊同時加上1.

6. 遞推關系式形如an+2=pan+1+qan（p，q為非零的常數），它的特征方程為：x2=px+q，它也會出現三種情況：

1）如果方程有二個不同的實根x1，x2，那么有二個結論：{an+1-x1an}是以x2為等比數列;{an+1-x2an}是以x1為等比數列，等到二個等比數列以后，二式相減，消去an+1，即可得到an的通項公式.

2）如果方程有二個相同的實根x，那么{an+1-xan}是以x為等比數列，直接轉化為第二種類型的遞推關系.

3）如果方程沒有實根，則要考慮數列是一個周期數列.

例8. 已知數列{an}滿足a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an，求an.

解析： 由遞推關系式可得an+2-an+1=2（an+1-an），所以數列{an+1-an} 是一個等比數列，

∴an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n-1 ……（1）

又an+2-2an+1=an+1-2an，故數列{an+1-2an} 是一個常數列，有：an+1-2an=a2-2a1=-1 ……（2）

由（1）（2），可得an=2n-1+1（n∈N？鄢）.

注：這里1和2是特征方程x2=3x-2的二個實根.其實單獨由（1）式或（2）式也可以得到答案，但是過程比較復雜一點.如果特征方程的實根不是整數，那么計算量會相當大，所以還是采用這種方法是最簡便的.

例9. 已知數列{an}滿足，a1=1，a2=4，an+2=4an+1-4an（n∈N？鄢），求an.

解析：由條件可得：an+2-2an+1=2（an+1-2an），

故數列{an+1-2an} 是以2為公比，2為首項的等比數列，從而有：an+1-2an=2n？圯■-■=■？圯■=■？圯an=n·2n-1（n∈N？鄢）.

注：2是特征方程x2=4x-4的根，出現一個第二種類型的關系式以后，采用二邊同時除以2n+1，即可以得到一個等差數列，這樣計算會簡便一些.

例10. 已知數列{an}滿足a1=1，a2=4，an+2=an+1-an（n∈N？鄢），求a2014的值.

解析：由已知可得：an+3=an+2-an+1=-an？圯an+6=-an+3=an.

所以數列{an}是以6為周期的數列，從而有：a2014=a6×335+4=a4=-a1=-1.

注：因為特征方程x2=x-1沒有實根，所以要考慮它是一個周期數列.

二、利用整體思想去構造新數列

在一些遞推關系式中，如果含有an+1，an，n+1，n等之類的整式，那么我們把an+1，n+1放在一起，an，n放在一起，重新構造新數列，就可以看到我們熟悉的類型了.即：an+1所在的式子中的自然數變量要比an的式子中的自然數變量多1個單位.

例11. 設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1=1，■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求數列{an}的通項公式;

解析：（1）∵■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.

∴當n=1時，2a1=2S1=a2-■-1-■=a2-2.

又a1=1，∴a2=4.

（2）∵■=an+1-■n2-n-■，n∈N？鄢.

∴2Sn=nan+1-■n3-n2-■n=nan+1-■……①

∴當n≥2時， 2Sn=（n-1）an- ■……②

由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）.

∵2an=2Sn-2Sn-1，

∴2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）.

∴■-■=1，

∴數列{■}是以首項為■=1，公差為1的等差數列.

∴■=1+1×（n-1）=n，∴an=n2（n≥2）.

當n=1時，上式顯然成立. ∴an=n2，n∈N？鄢.

注：式子中出現了an+1，an，n+1，n，自然想到把它們各放在一起，就得到一個等差數列了.

三、利用放縮法去構造新數列

在關于數列的不等式證明中，常常會遇到一個數列的前n項和小于某一個常數，這里，我們采用一種構造一個新的等比數列來起中間橋梁的作用.如：要證明：a1+a2+…+an

例12. 設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1（n∈N？鄢），且a1，a2+5，a3成等差數列.

（1）求a1的值;（2）求數列{an}的通項公式.

（3）證明：對一切正整數n，有■+■+…+■<■.

解析：（1）2Sn=an+1-2n+1+1，2Sn+1=an+2-2n+2+1，相減得：an+2=3an+1+2n+1.

2S1=a2-3？圳a2=2a1+3，a3=3a2+4=6a1+13.

a1，a2+5，a3成等差數列？圳a1+a3=2（a2+5）？圳a1=1.

（2）由a1=1，a2=5，得an+1=3an+2n對？坌n∈N？鄢均成立，an+1=3an+2n？圳an+1+2n+1=3（an+2n）.

得an+2n=3（an-1+2n-1）=32（an-2+2n-2）=…=3n-1（a1+2）？圳an=3n-2n.

（3）當n=1時，■=1<■，

當n≥2時，2·3n-1>2n？圯3n-3n-1>2n？圯3n-2n>3n-1，

故有：■<■.

從而：■+■+…+■<1+■+…+■=■<■.

由上式得：對一切正整n數，有■+■+…+■<■.

注：中間數列按上述方法二步可以構造出新數列bn=（■）n-1，因此，第3問的證明同學們就會明白為什么要這樣操作了. 這種方法可以適應于很多試題，同學們不妨一試.

新數列的構造是一種技巧性比較強的方法，同學們從上述三個方面去思考這類問題，就不會覺得無規律可循.當然，關于數列的解題方法還有一些其它的方法，比如數列歸納法，函數法，同學們也可以試著認真去歸納一下，或許會有一些收獲呢.

（作者單位：汕尾市華南師大附中汕尾學校）

責任編校 徐國堅