例談數列解題中的非常規技巧

近幾年廣東高考數學試題數列題都排第四道解答題，一般為一小一大兩題，很多專家一致認為六道解答題中，數列題是最關鍵的一題.因為前兩題往往比較容易，大部分考生可以完成.而后兩題往往很難，很多考生會望而卻步，心有余而力不足.高考命題按考綱要求以能力立意的原則已經成為命題的指導思想，將掌握知識與提高能力有機結合，全面考查考生是當下高考的主線.數列部分作為函數的延伸具備很多函數特性，但數列是特殊的函數，是離散函數，這就決定了數列題自身的個性.高考中數列會以單獨一道解答題的形式以凸顯其重要性，三角題、概率題、立體幾何題、數列題、解析幾何題、函數題是廣東高考經常采用的解答題順序，數列題的地位可見一斑.我們僅僅掌握基本的題路是不夠的，除了基本解題思路和常規技巧外，掌握一些非常規的技巧也很必要，恰恰數列部分聯系其它知識較多，非常規技巧也很多，區別于函數題單獨列題也說明了這一點.以下是自己的對此的點滴感悟，分以下幾個方面闡述.

1. 利用等差（或等比）中項性質簡化繁瑣運算

在數列復習中訓練考生的運算求解能力有至關重要的作用，有的題目，對運算能力強的考生可能是容易題，但對運算能力不過硬的考生可能就是中等題甚至難題，通過數列知識的復習深化考生的運算求解能力異常重要.運用等差（或等比）中項的性質簡化運算有出奇制勝的效果，歷年高考在中都有所體現，不僅對考生的運算求解能力有較高要求，同時要求考生有較強的抽象概括能力.

例1. 等差數列{an}共有2n+1項，其中奇數項之和為4，偶數項之和為3，則n=（ " ）

A. 3 " " " " " B. 5 " " " " " C. 7 " " " " " D. 9

【解析】依題意Sn=，因為an+1=，故Sn=（2n+1）an+1，即an+1為等差中項，顯然奇數項有n+1項，偶數項有n項，且n和n+1必有一個為奇數，若n+1為奇數，同理可得奇數項之和為S奇=（n+1）an+1，所以==，解得n=3，故選A. 若n為奇數，則==，同樣解得n=3，故選A.

【評注】等差數列{an}中，2an+1=an+an+2，2an+k=an+an+2k，等比數列{an}中，a2n+1=anan+2，a2n+k=anan+2k，這是等差（或等比）中項的性質，數列解題中，正確使用這一性質可以大大簡化運算，此類題若用傳統方法回歸到首項、公差（或公比）解決，運算量會繁瑣很多.

2. 回歸到定義通過邏輯推理得出結果

邏輯推理能力是數學能力的重要方面，數列復習也不例外.數列復習需要強化考生對函數、方程、不等式等知識板塊理解和掌握，切不可因為訓練增多而忽略定義的作用，有時審題也需要回歸到定義用邏輯推理尋找路子.

例2. 設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則（ ）

A. d<0 " " " "B. d>0 " " " "C.a1d<0 " " " "D.a1d>0

【解析】令bn=2a1an，因為數列{2a1an}為遞減數列，所以bn+1-bn=2a1an+1-2a1an=2a1（an+1-an）=2a1d<0，即a1d<0 .選C.

【評注】數列知識是高中代數的主干知識，要求考生重點把握，數列知識以其多變的形式和靈活的解題方法備受命題者青睞，本例中推理出數列{2a1an}為遞減數列是關鍵.

例3. 已知數列{an}和{bn}滿足：a1=？姿，an+1=an+n-4n，bn=（-1）n（an-3n+21），其中？姿為實數，n為正整數.（1）求證：對一切實數？姿，{an}不是等比數列;（2）求證：當？姿≠-18時，數列{bn}是等比數列.

【解析】（1）證明：假設存在一個實數？姿，使{an}是等比數列，則有a22=a1a2，即（？姿-3）2=？姿（？姿-4）？圳？姿2-4？姿+9=？姿2-4？姿？圳9=0，矛盾.

所以{an}不是等比數列.

（2）證明：∵bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（an-2n+14）

=-（-1）（an-3n+21）=-bn .

又？姿≠-18，∴b1=-（？姿+18）≠0. 由上式知bn≠0，∴=-（n∈N？鄢），故當？姿≠-18時，數列{bn}是以-（？姿+18）為首項，-為公比的等比數列.

【評注】本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力，等比數列的定義隱含條件是項與公比都不為0，第（1）小題還用到反證法.

3. 從認知動因中挖掘隱含條件類比數量關系

第一輪復習主要就是要抓基礎、抓重點、抓落實，數列題的基本功就是基本的數值運算.等差數列、等比數列通項公式和前n項和公式的運用，疊加法、疊乘法、錯位相減法等基本的運算技巧，基本題往往可以練就基本功.從另外一個角度看僅有這些是不夠的，人的認知動因雖然不盡相同，但也有一定規律，需要考生去挖掘，沒準兒能挖除我沒想要的.

例4. 等比數列{an}的前n項和為Sn=48，前2n項和S2n=60，求其前3n項和S3n.

【解析】等比數列{an}中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍然成等比數列，依題意，S2n-Sn=60-48=12，故等比數列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n的公比為=，∴ S3n-S2n=12×=3，∴ S3n=S2n+3=60+3=63.

【評注】挖掘隱含條件的分析來自認知動因的激活，聯想到等差數列的類似題目，必須分清前n項和、次n項和、后n項和與本體條件中的前n項和、前2n項和、前3n項和的關聯性以及不同點.為了挖掘其隱含條件，易知等差數列的前n項和、次n項和、后n項和還是成等差數列的，類比到等比數列，間隔相同的“等長片段和”也成等比數列.這既可證明，又可以從特殊激活一般的策略. 等比數列{an}中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，，仍然成等比數列，類似的結論可以引導考生去發現，最好不要直接給出，因為考生容易掌握，引領考生多發現，熟能生巧.

4. 使用特殊化思想指引解題思路

特殊化思想，在數學解題中是一種重要思想，稍加留意就能體會到，數列題也不例外，唯物辯證法告訴我們：一般存在于特殊之中，任何一般都有特殊的一部分，特殊化思想，有時可以講一般性的問題退到特殊問題，最終以退為進，解決問題.

例5. 設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn，

（1）若首項a1=，公差d=1，求滿足=（Sk）2的正整數k;

（2）求所有的無窮等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有=（Sk）2成立.

【解析】（1）設無窮等差數列{an}的公差為d，=（Sk）2中分別取k=1，2得S1=（S1）2且S4=（S2）2，即a1=（a1）2且4a1+d=（2a1+d）2，解得a=0，d=0或6，a=0，d=0或2，反過來代入=（Sk）2檢驗得符合條件的有三組解：a=0，d=0，a=1，d=0，a=1，d=2.所以，滿足條件的無窮等差數列{an}有：an=0，an=1， an=2n-1三個.

【評注】對于式子=（Sk）2，一般考生都會認為是要證明k2a1=d=（ka1+d）2對一切正整數k都成立，但式子過于繁瑣不好化簡，很多考生會不了了之.如果將一切正整數k退化成k=1，2的情況就可以找到所有這樣的等差數列.此題也是當年高考的亮點，很多行家推崇，本例也體現了命題的創新.

5. 運用最鄰近數學知識探索自然思路

數列解題不僅是掌握知識、提高能力的途徑，同時也是一門藝術，等差數列、等比數列通項公式、前n項和公式的運用，首項、公差（公比）、項數、通項、前n項和這些基本量之間的計算盡可能追求思路的自然流暢、方法的簡單明了體現了數列題的美感.但考生犯怵的是，有時想到怎么做容易可做起來很難.尤其是一些數列考題拘泥于某種章法而思路狹窄，或追求另類奇特的問題情境.這時能考慮一下其最鄰近的數學知識，興許能柳暗花明.

例6. 正項等比數列{an}中，T=a1a2…an，S=a1+a2+…+an，試用S，T表示Q=++…+.

【解析】設等比數列{an}的公比為q，則

Q=（qn-1+qn-2+…+1）=（a1qn-1+a1qn-2+…+a1）==.

由T=a1a2…an=a1·a1q·…·a1qn-1=an1，a1=，從而Q=.

【評注】傳統等比數列的解法認為通過a1，q表示S，T，再通過a1，q找S，T，Q之間的等量關系，這樣思路簡單，但做起來很繁瑣，還得討論公比q=1和q≠1兩種情況.這是局限于常規解題思路的結果，嘗試非傳統甚至非主流的解題技巧也許會大有不同.構造倒序對偶式打破常規，事實上等比數列最直接的形式是通項公式an=a1qn-1，由Q=++…+想到找最小公分母后通分在求和就會自然而簡單，再說也可以省掉討論公比q=1和q≠1兩種情況.考生來講的確是個難點，本輪復習可以特意加強字母運算的訓練.

6. 利用函數思想探究遞推數列的通項公式

數列題對思想方法特別是函數思想有較高要求，數列本身就是離散函數.等差數列、等比數列的定義體現了最簡單的遞推關系，但等差數列、等比數列的通項公式和前n項和為Sn公式的推導過程卻隱藏著疊加法、疊乘法、錯位相減法不完全歸納法等數學方法.從中提煉這些方法并把它用于其它題目中，這本身就是提高悟性的表現. 對于這種比較難的題目，除了具備深厚的數學專業知識外，還需要具備閱讀理解能力、數學探究能力、應用能力、是學習能力. 閱讀理解能力即要讀懂數學題目所講的內容，包含題目中的隱含條件，一般認為一流考生的標準就是審題時間和作答時間是五五開;數學探究能力即就是題目的結論不明確，聯想自己過去做的題;應用能力即將一些數學知識與實際生活的某些方面相結合; 學習能力即題目給出的一些新信息，這可以是一個新的定義，把這個信息與所學的知識結合起來，這就看誰能夠領會，領會以后很快把自己過去的知識結合起來.

例7. "已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn-Sn-2 =3（-）n-1（n≥3），且S1=1，S2=-求數列{an}的通項公式.

【解析】先考慮偶數項有：S2n-S2n-2=3·（-）2n-1=-3·（）2n-1，

S2n-2-S2n-4=3·（-）2n-3=-3·（）2n-3，S4-S2=2·（-）3=-3·（）3.

∴S2n=S2-3[（）2n-1+（）2n-3+…+（）3]

=-3[（）2n-1+（）2n-3+…+（）3+]

=-3·=-4[-·（）n]

=-2+（）2n-1（n≥1）.

同理考慮奇數項有：S2n-1-S2n-1=3（-）2n=3·（）2n.

S2n-1-S2n-3=3·（-）2n-2=3·（）2n-2·…·S3-S1=3·（-）2=3·（-）2.

∴ S2n+1=S1+3[（）2n+（）2n-2+…+（）2]=2-（）2n（n≥1）.

∴ a2n+1=S2n+1-S2n=2-（）2n-（-2+（）2n-1）=4-3·（）2n（n≥1）.

a2n=S2n-S2n-1=-2+（）2n-（2-（）2n-1）=-4+3·（）2n-1）（n≥1）.

a1=S1=1.

綜合可得an=4-3·（）n-1，n為奇數-4+3·（）n-1.n為偶數

【評注】本題的定位是壓軸題，很有難度，在數列中，屬于已知數列的前n項和Sn來求通項公式，經過仔細推敲發現該數列的奇數項與偶數項相鄰的兩個之間的差為等比數列，利用累加法求出前n項和Sn的公式，最后再利用前n項和Sn來求通項公式，通常累加法可以解決數列中相鄰兩項的差成等比數列或有規律的關系，此例可以采用累加法解決.

7. 結束語

現在高考備考都流行務實備考，簡單說就是針對自己，合理規劃.低效的、吃力不討好的事少做或不做，數列部分更是如此.數列這個部分，需要考生在對基本知識、基本技巧掌握的基礎上，學習一些非常規技巧，非常規技巧起的是“錦上添花”而非“雪中送炭”的作用.需要考生站在更高的角度，才能看得更遠.

（作者單位：南雄市第一中學）

責任編校 " 徐國堅