全線突破“力的分解與合成”時的幾個典型障礙區

力的分解是力學與動力學基石，然而在進行力的分解時常會出現以下幾個難以突破的典型障礙區：“死結”與“活結”、 “死桿”與“活桿”、“力分解的不唯一性及力分解的唯一性”等。現在我們就對這幾個典型的障礙區進行一個詳細的分析，以便在以后的學習中遇到這些問題時便于正確分析。

障礙一、弄不清楚繩的“死結”與“活結”之間的力學特點

【突破策略】繩是物體間連接的一種方式，當多個物體用繩連接的時候，其間必然有“結”的出現，根據“結”的形式不同，可以分為“活結”和“死結”兩種。“活結”是繩子間的一種光滑連接，其特點是結的兩端同一繩上的張力相等;而“死結”是繩子間的一種固定連接，結的兩端繩子上的張力不一定相等。對于這兩種模型的特點歸納如下：

【例1】如圖1所示，長為5m的輕質細繩兩端分別系于豎立在地面上相距為4m的兩桿上，懸掛點分別為A、B兩點，繩上掛一個光滑的輕質掛鉤，其下端連接著一個重為12N的物體，細繩和掛鉤的質量不計，且細繩受力后不可伸長，試問：繩中的張力T為多少？

解析：在繩中掛一個輕質掛鉤，而這個輕質掛鉤就相當于一個動滑輪（相當于一個活結），所以整條繩子所受張力的大小處處相同，且輕質掛鉤兩邊的細繩與水平面之間的夾角相同，設為？琢.

以掛鉤與輕繩的節點O點為受力研究對象，其受力分析圖如圖2所示，根據力的平衡條件可知，T1、T2的合力與G等大反向，且T1=T2，根據力的正交分解和力的平衡有：

T1sin？琢+T2sin？琢=T3=G ①

即T1=T2=■ ②

根據幾何性質可得：

AO·cos？琢+BO·cos？琢=CD=4m " " " " ③

AO+BO=5m " " " " " ④

由③、④兩式可解得：cos？琢=0.8 " " " sin？琢=0.6

將sin？琢=0.6帶入②式可解得：T1=T2=10N.

【點評】對于活結一定要明確：“活結”是把繩子分為兩部分，實際上還是一段繩子，同一段繩子上的彈力處處相等，在分析這類問題時一定要抓住這一特點。

【例2】如圖3所示，AO、BO和CO三根輕質繩子所能承受的最大拉力相等，其中O為結點，OB與豎直方向夾角為θ，懸掛物質量為m，輕繩OA保持水平方向.試分析下列問題：

（1）OA、OB、OC三根輕質繩子所受拉力的大小;

（2）若A點向上移動少許，則物體重新平衡后，繩中的張力如何變化？

解析：（1）以節點O為研究對象，結點O的受力如圖4所示，根據力的平衡條件可知，T1、T2的合力F與重物所受的重力G等大反向，但T1不一定等于T2，根據幾何知識可得：

T1=T2sinθ，G=T2cosθ

由以上兩式解得：T2=■，T1=Gtanθ

再根據力的相互性可知繩OC所受到的拉力大小為T=G。

（2）若A點向上移動少許，重新平衡后，根據力的平形四邊形定則可知繩OA、OB的張力均要發生變化，如圖4的平行四邊形FT/1OT/2，可以看出平行四邊形的邊長在變短，可見若A點向上移動少許，則物體重新平衡后，繩中的張力都變小.

【點評】“死結”可理解為把繩子分成兩段，且不可以沿繩子移動的結點。“死結”兩側的繩因結而變成了兩根獨立的繩，因此由“死結”分開的兩段繩子上的彈力不一定相等。

障礙二 、分不清楚“死桿”與“活桿”的區分

【突破策略】輕桿是物體間連接的另一種方式，根據輕桿與墻壁連接方式的不同，可以分為“活桿”與“死桿”。

【例3】如圖5所示，輕繩AD跨過固定的水平橫梁BC右端的定滑輪掛住一個質量為M1的物體，∠ACB=30°;圖6中輕桿HG一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端G通過細繩EG拉住，EG與水平方向也成30°，輕桿的G點用細繩GF拉住一個質量為M2的物體，求：

（1）輕繩AC段的張力FTAC與細繩EG的張力FTEG之比;

（2）輕桿BC對C端的支持力;

（3）輕桿HG對G端的支持力。

解析：題圖5和6中的兩個物體M1、M2都處于平衡狀態，根據平衡的條件，首先判斷與物體相連的細繩，其拉力大小等于物體的重力;分別取C點和G點為研究對象，進行受力分析如圖7和8所示，根據平衡規律可求解。

（1）在圖7中輕繩AD跨過定滑輪拉著質量為M1的物體，物體處于平衡狀態，輕繩AC段的拉力大小為：

FTAC= FTCD =M1g

在8圖中由于FTEGsin30°=M2g

解得：FTEG=2M2g

所以有■=■

（2）圖7中，三個力之間的夾角都為120°，根據力的平衡規律有FNC=FTAC=M1g，方向與水平方向成30°度夾角，方向指向右邊。

（3）在圖8中，根據力的平衡規律有FTEGsin30°=M2g，FTEGcos30°=FNG

由以上兩式解得FNG=M2gcot30°=■M2g，方向水平向右。

【點評】對于輕桿受力問題，首先應明確一端是否固定，若不固定，則另一端合力必沿桿方向，若固定，則可以受任何方向的力，應根據實際情況（如受力平衡等）加以分析。

障礙三、弄不清楚“力的合成”與“力的分解”的實質

【突破策略】在求某個力的大小時，常要利用“力的合成”或“力的分解”，而這兩種方法的原理都要用到力的平行四邊形定則。正是因為這樣，所以很多初學者會將力的合成法與力的“分解法”混為一談，下面我們通過一道具體的例題來揭開這兩種方法的真實“廬山面目”。

【例4】在圖9中，用一輕質三角支架懸掛一重量為G的重物，求水平桿AB受到的壓力和繩索AC受到的拉力。

對于該題我們現在利用兩種方法加以分析：

方法1、用力的合成法

以A點為研究對象，A點受三個力：懸掛物繩子拉力F，桿的推力FB，繩的拉力FC。由牛頓第三定律得F=G;

根據力的平行四邊形定則A點受力分析如圖10，由共點力平衡條件得：FBC=F=G，在直角三角形AFBCFB中有：

FC=■，FB=■

方法2、用力的分解法

選A點為研究對象，受力分析如圖11所示，懸繩上A端受到豎直向下的拉力F=G，在這個拉力作用下，它將壓緊水平桿AB并拉緊繩索AC，所以應把拉力F按作用效果沿AB、CA兩方向分解，設兩分力為F1、F2，畫出的平行四邊形如圖3所示.由直角三角形知識可得

FC=■，FB=■。

【點評】力的合成法實質上是將物體所受到的多個力利用力的平行四邊形定則逐個將這些力合成，若物體受到N個力二處于平衡狀態，那么要求某個力的大小時，根據共點力平衡的特點可將另外的（N-1）個力合成，那么這些力的合力大小就是要求的那個力;力的分解法的實質就是某個力產生的效果就是其他分力產生的原因，而在利用力的分解法來分析平衡問題時，一定要按力此時產生的效果來分解力，然后再根據相關的幾何性質（如三角函數）建立等式關系。

障礙四、弄不清楚有附加條件的力的分解問題。

【突破策略】已知一個力F的大小和方向，求它的兩個分力。據平行四邊形定則知，這種情況下可以作出無數個符合條件的平行四邊形，即對一已知力分解，含有無數個解，但如果再加以下條件，情況就不一樣了，下面討論：

1. 已知兩個分力F1、F2的方向（在同一直線上的情況除外），有唯一解。如圖12所示：

由上圖可知，由于力F的大小和方向已知，且兩分力F1、F2的方向又確定，根據幾何知識可知，以F1、F2為鄰邊做平行四邊形、F為該平行四邊形的對角線，這個平行四邊形是唯一確定的。也就是說要將已知大小和方向的力F進行分解，得到的結果是唯一的。

2. 已知一個分力的大小和方向（如F1），有唯一解，如圖13所示：

由上圖可知，由于力F、F1的大小和方向已知，根據幾何知識可知，以F1、F2為鄰邊做平行四邊形、F為該平行四邊形的對角線，這個平行四邊形是唯一確定的。也就是說在該條件下將力F進行分解，得到的結果也是唯一的。

3. 已知兩個分力F1、F2的大小，此時F的分解情況如下圖所：

（1）當F1≠F2時，有兩解。如圖14所示：

由上圖可知，由于已知兩個分力F1、F2的大小和力F的大小和方向，現分別一F的矢端為圓心，以F1的大小作圓弧，然后再以F的始端為圓心、以F2的大小作圓弧。于是可得兩圓弧有兩個交點，于是便可得到兩個不同的平行四邊形，這兩個平行四邊形都是以F1、F2為鄰邊，這兩個平行四邊形的對角線都為F。也就是說在該條件下將力F進行分解，得到的結果有兩解。

（2）F1=F2時，有唯一解。

由以上做圖可知，雖然能作兩個平行四邊形或三角形，但它們完全一樣，因此只有一解。

4. 已知合力F、一個分力F2的方向和另一個分力的大小，求F2的大小和F1的方向，有多種情況。具體情況如圖16所示：

（1）當F1

設F于F2的夾角為α，由12圖可知當

（2）當F1=Fsinα時，有唯一解。

設F于F2的夾角為α，由圖17的分析可知當F1=Fsinα時，F、F1、F2能構成一個三角形，也就是說，按該條件F分解，可能分解，且只有一解。

【例5】已知力F的一個分力為F1跟F成30°角，大小未知，另一個分力F2大小是，方向未知，則F1的大小可能是（ ）

A. ■F/3 B. ■F/2 C. 2■F/3 D. ■F

解析：如圖18所示，先畫一條有向線段AB表示力F，過F的始端A畫一條與AB成30°角的射線（是力F1的作用線，表示出力F1的方向已知），然后過F的末端做一垂線BC垂直射線于C，由幾何關系可知BC=■。由于■F>■，所以以F的末端為圓心、F2為半徑做圓，則該圓與圖18中的射線有兩個交點，設分別為E和D（如圖18所示），也就是說如果按題目中的條件將F進行分解，可有兩解，根據平行四邊形定則可得到如圖19和20所示的F的矢量分解圖。

為便于分析求解，現將F的兩中分解在一個矢量三角形中表示出來，如圖21所示，由幾何知識可知：在直角三角形△EBC中，因CB=■，EB=■F，∠CBE=∠ABE=？茲=30°，故△ABD為直角三角形，利用直角三角形可知E為直角三角形△ADB的斜邊AD的中點，AE=■F，AD=■F，即F1的大小可能是F1=■F，也可能是F1？蛐=■F，故選項A、C正確。

答案：A、C

【點評】在對一個力進行分解時，一定要弄清分解的條件，在按某一條件進行分解時，最好利用幾何圖形進行分解，這樣會使問題變得簡單明了。

障礙五、誤以為某個力分解成兩個力后物體受的力便增加了兩個

【突破策略】在求解某個力的大小時，常要將其中的某個或幾個力進行分解，為解題方便，一般按正交分解法對力進行分解，也就是說習慣上將某個力分解為兩個，而在分解時又按力產生的效果來分。但很多同學會錯誤地認為將某個力分解成兩個分力后，誤以為物體所受力的個數便增加了兩個。在分解實際問題中的某個力時，一般是根據力的實際效果來分解一個力時，其具體做法是：①先根據力的實際作用效果確定兩個分力的方向;②再根據兩個實際分力方向畫出平行四邊形;③根據平行四邊形和學過的數學知識求出兩分力的大小。

【例6】在圖22中，光滑斜面上物體的重力分解為F1、F2兩個力，下列說法正確的是（ ）

A. F1是斜面作用在物體上使物體下滑的力，F2是物體對斜面的壓力

B. 物體受到重力mg、FN、F1、F2四個力的作用

C. 物體只受到重力mg和斜面支持力FN的作用

D. FN、F1、F2三個力的作用效果與mg、FN兩個力的作用效果相同

解析：F1、F2兩個力是mg的兩個分力，其作用效果與重力mg等效，F1的作用是使物體沿斜面下滑，F2的作用是使物體壓緊斜面，這是重物在斜面上產生的兩個作用效果;物體只受重力mg和斜面對物體的支持力FN的作用.綜上所述，故選項C、D都正確.

答案：CD

【點評】按力產生的效果進行力的分解時要明確以下要點：①力的實際問題分解，一定要首先弄清力的作用效果;②分析物體受力時，分力和合力不能同時并存;③把一個力進行分解，僅是一種等效替代關系，不能認為在分力的方向上有施力物體。

（作者單位：陽山縣陽山中學）

責任編校 李平安