買西瓜中的數學

一、買西瓜——做數學

開普勒是德國近代著名的天文學家、數學家、物理學家和哲學家.他以數學的和諧性探索宇宙，在天文學方面做出了巨大的貢獻.開普勒是繼哥白尼之后第一個站出來捍衛太陽中心說、并在天文學方面有突破性成就的人物，被后世的科學家稱為“天上的立法者”.

開普勒出生在德國威爾的一個貧民家庭，他在童年時代遭遇了很大的不幸，四歲時患上了天花和猩紅熱，雖僥幸死里逃生，身體卻受到了嚴重的摧殘，但開普勒身上有一種頑強的進取精神.大學畢業后，為了謀生，開普勒曾當過家庭教師，教授的科目就是數學，由此他對數學中許多問題產生了濃厚興趣，并投入相當多的時間和精力進行研究.比如最為著名的是，某一日開普勒對如何精確計算圓的面積有了自己的想法.在此以前，古代的數學家是用不斷分割的辦法來求圓的面積，即把圓近似看作圓內接多邊形，然后用圓內接多邊形的面積近似代替圓的面積.而不斷增加分割的次數，只能保證求出的結果相對更精確些（此時圓內接多邊形更接近于圓）.但可以看出，不管分多少次，得到的都是大致的近似值.那能不能有一種方法能從根本上解決近似的敝病呢？開普勒首先想到的是，從理論上來進行分割，最準確的莫過于把圓分成無窮多等分，可這樣的分法如何求出它的面積呢？

開普勒苦苦思索這個問題卻不得其解，有一天他看見有人正在切西瓜，不禁眼前一亮：西瓜被切成一塊塊，而這一塊塊又是原本能拼成球形西瓜的，那么與此類似，圓也能分成許多小的扇形，然后把這些扇形進行對插處理（如圖1）.這樣圓的面積就轉變成一個近似長方形的面積，可以想象，因為開普勒設想的是把圓分成無窮多個小扇形，所以小扇形中彎曲的弧就會越來越小，最終小扇形就“化曲為直”成為小三角形，而拼成的圖形就極端化為一個長方形，長方形的長為原周長的一半πr，寬就是圓的半徑r，那么長方形的面積為西瓜甜不甜，不是攤主說了算.用小刀剜出一小塊西瓜，是顧客們的慣用手法.這里也有數學，剜瓜啟發我們得到一個直觀推導球體積公式的妙法.仔細觀察，如圖2剜出的一小塊瓜像不像一個“曲底面的錐體”？其頂點在球心（當然實際剜瓜不必這么深入），底面在球面上，高就是球的半徑，整個大西瓜就是由無限多個這樣的小錐體構成的（好像是一個以球面為底面、以球心為頂點的“封閉椎體”）

所以

這種方法就是用分割的思路，得出了球體的體積.

二、用數學——買西瓜

買西瓜即便是價格一樣、也一樣甜，就不用挑了？非也，還是有的挑，挑什么？這里也大有數學的學問在呢.通常購買同一品種的西瓜時，西瓜的重量越大，花費的錢越多.顯然大家都希望西瓜瓤占整個西瓜的比例越大越好.假如我們把西瓜都看成球形且把這個球的半徑設為R，并把西瓜瓤的密度看成是均勻的，西瓜皮的厚度都是d，那么是買大西瓜合算還是買小西瓜合算呢？

因為

其中d是定值，故R越大，dR就越小，1-dR就越大，從而西瓜瓤占整個西瓜的比例就越大.所以說，購買大西瓜更合算.

大概是1987年或1988年，數學家王元先生和太太買西瓜，兩位一邊挑一邊算價錢呢.

由于西瓜賣得好，攤主不免有些“作怪”.不稱重，分大瓜小瓜賣，大瓜3塊一個，小瓜1塊一個.

看到大瓜小瓜尺寸差別不是很大，很多人都拼命往小瓜那邊擠.

王太太好像也是這樣，卻聽見王元先生說：“買那個大的.”

“大的貴3倍呢……”王太太猶豫.

“大的比小的值.”王先生說.

王太太挑了兩個大瓜，交了錢，看看別人都在搶小瓜，似乎又有些猶豫.

王先生看出她猶豫，笑笑說：“你吃瓜吃的是什么？吃的是容積，不是面積.那小瓜的半徑是大瓜的2/3稍弱，容積可是按立方算的.小的容積不到大的30%，當然買大的賺.”

王太太點點頭，又搖搖頭：“你算得不對，那大西瓜皮厚，小西瓜還皮薄呢，算容積，恐怕還是買大的吃虧.”

卻見王先生胸有成竹，點點頭道：“嘿嘿，你別忘了那小西瓜的瓜皮卻是3個瓜的，大西瓜只有1個，哪個皮多你再算算表面積看.” 聰明的小讀者，你認為是買大瓜合算還是買小瓜合算呢？