“整式的乘法與因式分解”概念解讀

本章的主要內容是整式的乘法運算、因式分解.內容建立在學習了有理數運算、列簡單的代數式、一次方程及不等式、整式的加減運算等知識的基礎上.整式的乘法運算和因式分解是基本而重要的代數初步知識，這些知識是以后學習分式和根式運算、函數等知識的基礎.

一 、整式的乘法

整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分.其中之前所學習的冪的運算性質，即同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎.整式乘法具體內容包括單項式乘以單項式，單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式.

單項式與單項式相乘 把他們的系數相乘，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

單項式乘以多項式 就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.依據是

.

多項式與多項式相乘 用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

二 .乘法公式

乘法公式是整式乘法的特殊情形.運用乘法公式能迅速而簡潔地進行一些整式相乘的運算.

平方差公式：

注意：平方差公式展開只有兩項.

公式的特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數.

完全平方公式：

完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號和前一個樣.

三. 因式分解

因式分解是多項式的一種恒等變形.因式分解不但在解方程等問題中極其重要，在數學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用，是重要的數學基礎知識.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.因式分解和整式乘法是互逆的運算，同學們在學習時必須能夠弄清兩者的區別和聯系.

分解因式基本概念：

※把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.

※因式分解與整式乘法是互逆關系.

因式分解的思路與解題步驟：

（1）看各項有沒有公因式，若有，先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法；

（3）因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

（4）因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.

因式分解的基本方法

Ⅰ提公因式法

概念：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如：

概念內涵：

（1）因式分解的最后結果應當是“積”；

（2）公因式可能是單項式，也可能是多項式；

（3）提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律，即：

方法：

（1）找多項式中的公因式；公因式的構成一般情況下有三部分：①系數----各項系數的最大公約數；②字母----各項含有的相同字母；③指數----相同字母的最低次數；

（2）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數與原多項式的項數一致，這一點可用來檢驗是否漏項.

（3）注意點①提取公因式后各因式應該是最簡形式②如果多項式的第一項的系數是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數是正的.

易錯點點評：

（1）注意項的符號與冪指數是否搞錯；

（2）公因式是否提“干凈”；

（3）多項式中某一項恰為公因式，提出后，括號中這一項為+1，不漏掉.

Ⅱ公式法

運用公式法分解因式的實質是：把乘法公式反過來使用.常用的公式：

①平方差公式：

（應是二項式，且每項（不含符號）都是一個整式的平方；二項是異號.）

②完全平方公式： 、

（應是三項式；其中兩項同號，且各為一整式的平方； 還有一項可正負，且它是前兩項冪的底數乘積的2倍.）

因式分解中需要注意的幾個問題

1.分解的對象是多項式.而對于 的變形過程，是利用了因式分解的方法和形式，而不能叫因式分解.

2. 要把結果化為幾個因式的積，而不是把部分化為積的形式.有些同學在分解因式時，容易出現這樣的錯誤

= ，

它不符合因式分解的定義，應分解為 =

3.不要分解后又乘回來

有些同學對多項式因式分解后，又按整式乘法把它變成一個多項式，這是同學們因式分解時易犯錯誤.