趣味數(shù)學(xué)“雞兔同籠”探究活動方案

活動的提出：

雞兔同籠是中國古代的數(shù)學(xué)趣味題之一。大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有幾只雞和兔？

活動目的：

1.了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性。

2.嘗試從不同角度分析“雞兔同籠”問題，并構(gòu)建方程組解決兩個或多個未知量的問題，

體會算術(shù)方法和方程（方程組）模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想和建型意識。

探究方案：

方案一：用列舉法（列表法），分組制作表格，列舉出各種可能情況，找出符合條件的一組。

方案二：假設(shè)法

先用假設(shè)全是雞的辦法解決了這個問題，再假設(shè)全是兔分析和解決這個問題。

方案三：方程（方程組）法

讓學(xué)生建立方程模型，用一元一次方程，二元一次方程組來解決這個問題。體現(xiàn)建模思想。

探究活動

活動一：

將全班學(xué)生分成若干個小組，每組6人，每組制作一個統(tǒng)計表， 分組討論列舉出各種方案，并在表中記錄。

x

方案（二） 若雞的只數(shù)為1，根據(jù)腿的總數(shù)是94，得兔的只數(shù)為23，則 頭的數(shù)總是24，不符合題意；若雞的只數(shù)為2，根據(jù)腿的總數(shù)是94，得兔的只數(shù)為 ，則 頭的數(shù)總是 ，不符合題意；...一直找到符合條件的那一組值。

當(dāng)然還可以從兔的只數(shù)的角度討論制作表格進(jìn)行列舉。

活動小結(jié)：

用列舉法（列表法）解決這樣的問題，雖然比較繁瑣，工作量比較大，但是從長遠(yuǎn)看，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的解決數(shù)學(xué)問題的分類思想，也為后面學(xué)習(xí)求二元一次方程的整數(shù)解和概率等知識奠定基礎(chǔ)。

活動二：

為了研究方便，我們把班級同學(xué)分成若干小組，每組6人，每個小組內(nèi)都準(zhǔn)備了若干個雞、兔玩具模型（學(xué)生自備，數(shù)量足夠組內(nèi)使用），

1.取出幾只雞和兔，數(shù)出頭、腿總數(shù)少多少和雞、兔數(shù)目，假設(shè)全是雞的話，把取出的兔子全部換成雞，數(shù)出頭、腿總數(shù)少多少和雞、兔數(shù)目，前后兩種情況進(jìn)行比較；探究出這些量之間的關(guān)系式。再假設(shè)全是兔的話，把取出的雞全換成兔，試一試。

2.讓取出的每一只雞都用一條腿站著，而每一只兔子都用其（兩條）后腿站著，觀察這時籠子里的兔就比雞的腳數(shù)只多1，探討分析得出而腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差就是兔子的只數(shù)，問題得以解決。

活動小結(jié)：

通過活動不難發(fā)現(xiàn)題目中存在這樣兩個等量關(guān)系式：

雞的只數(shù) + 兔的只數(shù) =頭的總數(shù)...

雞的只數(shù)×2 + 兔的只數(shù)×4 =腿的總數(shù)...

若假設(shè)全是雞的話，就相當(dāng)于將式子-×2得：兔的只數(shù)= （腿的總數(shù)-頭的總數(shù)×2）；若假設(shè)全是雞的話，就相當(dāng)于將式子×4-得：雞的只數(shù)= （頭的總數(shù)×4-腿的總數(shù)）；若采用“抬腳法”，就相當(dāng)于將式子÷2-得：兔的只數(shù)= 腿的總數(shù)-頭的總數(shù)；這樣結(jié)論的得出即鍛煉強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力又能為學(xué)生后面學(xué)習(xí)等式的加減法解二元一次方程組做好鋪墊。同時學(xué)生也能理解小學(xué)算術(shù)方法的合理性，把算術(shù)方法與方程思想有機(jī)結(jié)合起來.

活動三：

分組討論如何用一元一次方程，二元一次方程組如何來解決這個問題。

方法1.我們可以采用列方程的辦法：設(shè)其中的一個量為未知數(shù)，另一個數(shù)也用含有這個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，根據(jù)題意，列出方程，解答即可

設(shè)兔子的數(shù)量為x只，雞的數(shù)量為（35-x）只，那么這可以列出方程

2x+4（35-x）=94，解這個方程得x=12；即兔子有12只，雞有23只。

方法2.我們也可以采用列方程組的辦法：設(shè)兩個未知數(shù)，根據(jù)題目中兩個等量關(guān)系式，列出方程組，解方程組即可。

設(shè)籠中有 只雞和 只兔，這樣可得方程組：

（1）×2得： （3）

（2）-（3）得：

所以

把 代入（1）得

于是得到方程組的解：

活動小結(jié)：

讓學(xué)生親身體驗，解決像“雞兔同籠”這樣有兩個未知量的問題，既可以用我們學(xué)習(xí)過的一元一次方程，也可以構(gòu)建二元一次方程組來解決。構(gòu)建二元一次方程組解答時，關(guān)鍵是根據(jù)條件反映全題題意的兩個等量關(guān)系式.即可列出方程組解決問題.

活動四：

生活中有類似“雞兔同籠”的問題，分組討論并設(shè)計出類似“雞兔同籠”的問題，且用能指出問題中什么量相當(dāng)于“兔”，什么量相當(dāng)于“雞”。

下面是節(jié)選學(xué)生設(shè)計出來的問題：

1.男孩子帶的帽子是藍(lán)色的，女孩子帶的帽子是粉色的。在男孩子看來，天藍(lán)色的與粉紅色的一樣，；在女孩子看來，天藍(lán)色的比粉紅色的多一倍，男孩女孩各有幾人？

2.一些2分和5分的硬幣，共值2.99元，其中2分硬幣個數(shù)是5分硬幣個數(shù)的4倍，問5分硬幣有多少個

3.從甲地至乙地全長45千米，有上坡路，平路，下坡路.王軍上坡速度是每小時3千米，平路上速度是每小時5千米，下坡速度是每小時6千米.從甲地到乙地，李強(qiáng)行走了10小時；從乙地到甲地，李強(qiáng)行走了11小時.問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米 ？

4.古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字。有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首？

5.甲茶葉每千克132元，乙茶葉每千克96元，共買這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354元。問每種茶葉各買多少千克？

6.甲，乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地，在停留半小時后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留40分鐘后，又從甲地返回乙地。已知兩人同時分別從甲，乙兩地出發(fā)，經(jīng)過4小時后，他們在返回的途中相遇.如果小張速度比小王速度每小時多走1.5千米，求兩人的速度？

7.某學(xué)校有12間宿舍，住著80個學(xué)生。宿舍的大小有A，B，C三種型號：A型號的每間住8個學(xué)生，B型號每間住7個學(xué)生，C型號每間住5人.B型號其中不大不小的宿舍最多，問這樣的宿舍有幾間 ？

8.某車間有28名工人，生產(chǎn)一種螺栓和螺母，平均每人每天能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，要求一個螺栓配兩個螺母，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使螺栓與螺母恰好配套.

活動小結(jié)：

利用模型解決實際問題，同時也促進(jìn)模型的進(jìn)一步內(nèi)化。